n進数でベンフォードの法則を計算する

10進数の場合

よく知られたベンフォードの法則による確率です。10進数で表された数の先頭数の出現率を下記の表に示します。

 数字の先頭 出現率
 1  30.10%
 2  17.61%
 3  12.49%
 4  9.69%
 5  7.92%
 6  6.69%
 7  5.80%
 8  5.12%
 9  4.58%

 

2進数の場合

2進数の場合、(ゼロサプレスすれば)数字の先頭は1しかありません。2進数で先頭の文字が1である確率は100%です。ですから、あたりまえですが、2進数ではすべて先頭の文字が「1」で始まっています。

 

16進数の場合

 数字の先頭 出現率
 1 25.00%
 2 14.62%
 3 10.38%
 4 8.05%
 5 6.58%
 6 5.56%
 7 4.82%
 8 4.25%
 9 3.80%
A 3.44%
B 3.14%
C 2.89%
D 2.67%
E 2.49%
F 2.33%

「1」の出現率が高いのはやはり目立ちますが、それよりも後半の「E」や「F」の出現率がかなり小さくなっています。

これからわかることは、100進数などでは先頭が「99」で始まることがまずありえないということになります。

ちなみに10進数を2桁毎にくぎると100進数とみなせますが、この場合、「99」で始まる数はなんと、0.22%となります。500個ぐらいの数をもってくると、先頭が99で始まる数がやっと1個あるという確率です。

「01」で始まる数は15.05%。ほんとかいなと思いますが、「01」「10」「11」「12」「13」「14」「15」「16」「17」「18」「19」で始まる数をひとまとめにすると、30.10%になって、計算通りです。