完全数を一般化したオアの調和数とは

オアの調和数(Ore’s harmonic number)の定義

Ore(「オレ」でなく「オア」と読むそうです)は、ノルウェーの数学者の名前です。

調和数を調べていたらでてきました。歴史があるだけあって整数問題は、初等的な問題であっても未だ未解決の問題だらけです。

正の整数nに対する約数関数σ_k(n)を次のように定義します。

\[ σ_k(n) = \sum_{d|n} d^k \]

つまり、自然数nの約数をk乗した総和を返す関数です。

σ₁(n)は、自然数nの約数の総和となります。また、σ_k(n)は乗法的です。

H(n)で自然数ｎの約数に対してその調和平均を表します。

これがオアの調和数という数になります。式で表すと

\[ H(n):=\frac{n \sigma_0(n)}{\sigma_1(n)}\]

となります。

H(n)が整数になるとき、nをオアの調和数と呼びます。

1は自明な調和数です。

6は非自明な最小の調和数です。

小さな数で調和数をリストアップします。

n	H(n)	n	H(n)	n	H(n)
1	1	270	6	6220	10
6	2	672	8	8128	7
28	3	1638	9	105664	13
140	5	2970	11	33550336	13

これは、H(n)≦13である調和数ｎのリストにもなっています。

コンピュータで計算できます。

 

命題

すべての完全数は、調和数です。

\[ ｎが完全数 \Rightarrow H(n)=\frac{\sigma_0(n)}{2} \]

から示せます。つまり、nが完全数であれば調和数でもあるわけです。

 

オアの予想

 

予想命題
１を除くと
「すべての調和数は偶数である。」

これが俺ではなく、オアの予想です。もし、この予想が正しければ、奇数の完全数は存在しないことが示された事になります。