円を使ったピタグラス数を求める方法で、ピタゴラス数の式を少し変形した式の整数解を求めてみました。

どんな解が得られるでしょうか。

問題

\(a^2+2b^2=c^2\)

となる整数の組(a,b,c)を求めよ。

コメント

a=1,b=2,c=3が解であることがわかっています。

解が1,2,3と順番に並んでいるというので有名な不定方程式です。

 

解法

一組の整数解が求められているのでそれを利用します。

まず、問題の式の両辺を\(c^2\)で割って変数を減らします。

\((a/c)^2+2(b/c)^2=1\)

から

\[x^2+2y^2=1\]

を満たす有理数解(x,y)を求める問題と捉えます。

a=1,b=2,c=3が解であることを使うと、x=1/3,y=2/3が一組の有理数解であることがわかります。

点(1/3,2/3)を通る傾きmの直線を考えます。

\[y-2/3=m(x-1/3)\]

これと問題の楕円の式との交点を求めます。分数の式にがでてきますが、ベタにやってみます。

\(y=m(x-1/3)+2/3\)を楕円の式に代入します。

\(x^2+2(m^2(x-1/3)^2+4m/3(x-1/3)+4/9)-1=0\)

x=1/3が解になるはずですから、x-1/3は温存して計算します。

\((x-1/3)(2m^2(x-1/3) +8m/3  ) +(x-1/3)(x+1/3)=0 \)

\((x-1/3)(2m^2(x-1/3) +8m/3 +x+1/3 )=0 \)

\((x-1/3)(2m^2 x +x –  2m^2/3  +8m/3 +1/3 )=0 \)

\((x-1/3)((2m^2 +1)x  – 2m^2/3  +8m/3 +1/3 )=0 \)

これから

x=1/3と

\[x=\frac{2m^2-8m-1}{6m^2+3}\]

が求められました。

これから、(1/3,2/3)ともう一つの交点は、

\(\displaystyle \left(\frac{2m^2-8m-1}{6m^2+3}, \frac{-4m^2-2m+2}{6m^2+3} \right)\)

これから、

\(a=2m^2-8m-1\)
\(b=-4m^2-2m+2\)
\(c=6m^2+3\)

を得ることができました。

ただしmを整数としたときに整数解(a,b,c)が得られますが、これがすべての整数解かというと、それは否定的です。

例えば、mが(整数でなく)有理数でも、a,b,c(の整数倍)が整数になる可能性があるからです。

ここは、私の実力不足による至らない点です。

ただ、無数に整数解を得ることができました。

コメント

整数解をすべて求めるのは難しい。トホホ。

m=-1/4の時、a=9/8,b=9/4,c=27/8となります。