連続関数の定義

関数f(x)がx=aで連続である

関数f(x)が連続とは、

\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow a} f(x)=f(a)\)

のことです。

もちろん、これは、

\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow a} f(x)\)

\(f(a)\)
が存在するという前提のもとでの定義です。

 

区間で連続である

区間内のすべての点でf(x)が連続であるとき、f(x)はその区間で連続であるといいます。

 

簡単にいうと

連続とは、言葉が示している通り繋がっているということになります。

繋がっているということを数学的にいいあわわすことは実は難しいのですが、それが意味しているところは、x=aのちょっとだけ右とちょっとだけ左はどちらもf(a)とほとんど同じということです。

連続の定義は、aに近いところのxは、f(x)の値もf(a)に近いところにあるとも言い換えることができます。

 

合成関数の極限

関数をもっと一般化した概念として写像という概念があります。

関数f(x)のことを、fによってxを写した値ともいいます。

関数f(x)とg(x)の合成関数とは、g(f(x))によって定義される関数です。

これは写像の概念でいうと、xを関数fで写したあとさらにgで写すという写像(関数)のことになります。

ここで重要な定理があります。

f(x)がx=aで連続であれば、g(f(x))のx=aでの極限は、x=f(a)でのg(x)の極限と同じであるということです。

当たり前のように思えますが証明が必要な定理です。

f(x)が連続でなければならないというのもポイントです。

しかし、通常の問題ではこの定理は当たり前のようにバンバン使われます。すくなくとも高校では。

どういうときに使っているのかというと、

\(\frac{\sin 3x}{3x}\)のx=0の時の極限を求める場合などです。

Z=3xとおいて\(\frac{\sin Z}{Z}\)のZ=0の極限を考えて解きますが、
Z=3xとおいても極限が正しく求められるというのがこの合成関数の極限の定理です。

実は、なにげに合成関数の極限の定理をつかっていろいろな問題を解いています。