[msg#wsiki]
問題
数列\(\{a_n\}\)において、
\(a_n=\sqrt{3 a_{n-1}+10} \; (n \ge 2) \; a_1 \ge 0\)
のとき、
（１）
\(\displaystyle |a_n-5| \le \frac{3}{5}|a_{n-1}-5|\; (n \ge 2 ) \)
を証明せよ。
（２）
\(\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} a_n\)
を求めよ。
解き方
（１）が解ければ、等比数列の形の（１）は０に収束ですから（２）は簡単にわかります。
（１）はこの問題を解くヒントです。極限をもとめるときに、（１）のような不等式をみつけるとうまくいきます。
じつは（１）の式は、最初からこの数列は５に収束するであろうという予想のもとで見つけた式です。
漸化式から
\(a=\sqrt{3a+10}\)
をとくと
\(a^2-3a-10=(a+2)(a-5)=0\)
a=-2,5となります。
これからおそらく、\(a_n\)は5に収束するであろうと予想しています。
漸化式をいじっても簡単には（１）の不等式は見つかりません。
解答
（１）
漸化式とa1≧0からan≧0は簡単に示せる(数学的帰納法)。
したがって、ルートの中は常に正である。
\(\displaystyle |a_n – 5| \)
\(\displaystyle =|\sqrt{3 a_{n-1}+10} – 5| \)
\(\displaystyle =\left|\frac{ (\sqrt{3 a_{n-1}+10} – 5 )(\sqrt{3 a_{n-1}+10} + 5)}{\sqrt{3 a_{n-1}+10} + 5} \right|\)
\(\displaystyle =\left|\frac{ 3 a_{n-1}-15}{\sqrt{3 a_{n-1}+10} + 5} \right| \)
\(\displaystyle = \frac{ 3 }{\sqrt{3 a_{n-1}+10} + 5} \left| a_{n-1}-5 \right| \)
\(\displaystyle \le \frac{ 3 }{ 5} \left| a_{n-1}-5 \right| \)
これで証明できた。
（２）
\(|a_n-5|\)は公比3/5の等比数列である。
したがって、0に収束する。
よって、\(|a_n-5|\rightarrow 0\)から
\(a_n\rightarrow 5\)
を得る。
他の数列の極限に関する問題：数列の極限の問題一覧
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猫野の解析は
鉄則微分・積分
をテキストとして使っています。
鉄則ゼミ５の問題を解いています。
