[msg#wsiki]
問題
次の漸化式から
\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} a_n\)を求めよ。
\(a_1=0,a_2=1,a_{n+2}=(1+k)a_{n+1}-ka_n\)
解き方
anは、隣接三項間漸化式ですから、普通にanの一般項を求めて極限を求めます。
ただ、変数kがあるので、計算がややこしそう・・・
と思いきや、変形すると、
\(a_{n+2}-a_{n+1}=k(a_{n+1}-a_n)\)
となって、なんともありがたい形に変形できるように問題は作られています。
\(a_{n+2}-a_{n+1}=(a_2-a_1)k^n\)
階差数列の一般項が求められていますから、一般項も求めることができます。
a2-a1=1,a1=0に注意すると
\(a_{n+2}=(a_2-a_1)k^n+(a_2-a_1)k^{n-1}+\cdots+(a_2-a_1)+a_1\)
\(=k^n+k^{n-1}+\cdots+1\)
ｋ=1のとき、n+1
ｋ≠1のとき
\(\displaystyle =\frac{k^{n+1}-1}{k-1}\)
となります。
解答
anの一般項は、
\(\displaystyle a_n=n-1\)(k=1の時)
\(\displaystyle a_n=\frac{k^{n-1}-1}{k-1}\)(k≠1の時)
であるから、この一般項の極限を求めれば良い。
(1)k=1のとき、
an=n-1
であるから∞に発散する。
(2)|k|>1のとき
\(\displaystyle a_n=\frac{k^{n-1}-1}{k-1}\)
であるから、∞に発散する。
(3)|k|<1のとき
\(\displaystyle a_n=\frac{k^{n-1}-1}{k-1}\)
であるから、\(\displaystyle \frac{1}{1-k}\)に収束する。
(4)k<-1のとき
\(\displaystyle a_n=\frac{k^{n-1}-1}{k-1}\)
であるから、発散(振動)する
問題
次の漸化式から\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} a_n\)を求めよ。
\(a_1=1,3a_{n+1}=a_n-2^n\)
解き方
この問題は、数列anの一般項を求めるところが肝になっています。
じょうずに漸化式の形みて既知の数列に帰着させます。
2nがじゃまです。2nでわってanに丸め込みます。
\(6a_{n+1}/2^{n+1}=a_n/2^n-1\)
\(b_n=a_n/2^n\)とおくと、
\(6b_{n+1}=b_n+1\)
2項隣接漸化式になりました。
\(b_{n+1}-1/5=(1/6)(b_n-1/5)\)
\(b_n-1/5\)は等比数列でから、
一般項が求められます。
解答
\(b_n=a_n/2^n\)とおくと、
\(b_{n+1}-1/5=(1/6)(b_n-1/5)\)
であるから、
\(b_n-1/5=(3/5)(1/6)^{n-1}\)
\(b_n=1/5+(3/5)(1/6)^{n-1}\)
\(a_n=2^n/5+(1/5)(1/3)^{n-2}\)
ここで、
\(2^n/5 \rightarrow \infty\)
\((1/5)(1/3)^{n-2}\rightarrow 0\)
より、anは∞に発散する。
答え
\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} a_n=\infty\)
問題
次の漸化式から\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} a_n\)を求めよ。
\(\displaystyle a_1=1,a_{n+1}=\frac{a_n}{2a_n+3}\)
解き方
この問題は、数列anの一般項を求めるところが肝になっています。
逆数の数列を考えます。
\(b_{n+1}=1/a_n\)
とおくと
\(b_{n+1}=3b_n+2\)
となって隣接2項間漸化式になります。
解答
\(b_{n+1}=1/a_n\)
とおくと
\(b_{n+1}+1=3(b_n+1)\)
より、
\(b_{n+1}=2 \cdot 3^{n-1}-1\)
よって、
\(\displaystyle a_n=\frac{1}{2 \cdot 3^{n-1}-1}\)
この数列は0に収束する。
答え
\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} a_n=0\)
別解
裏でa=a/(2a+3)をといてa=0,-1を得ておきます。
\(a_n-0,a_n+1\)を求め比を取ります。
\(a_n-0=a_n\)です。
\(\displaystyle a_{n+1}+1\)
\(\displaystyle =\frac{a_n}{2a_n+3}+1\)
\(\displaystyle =3\frac{a_n+1}{2a_n+3}\)
比を計算します。
\(\displaystyle \frac{a_{n+1}+1}{a_{n+1}}\)
\(\displaystyle = \frac{a_n/(2a_n+3)}{3(a_n+1)/(2a_n+3)}\)
\(\displaystyle = 3\frac{a_n+1}{a_n} \)
つまり、
数列
\(\displaystyle \frac{a_n+1}{a_n}\)
は初項２、公比3の等比数列です。
\(\displaystyle \frac{a_{n}+1}{a_{n}}=2 \cdot 3^{n-1}\)
この式を\(a_n\)について解くと、一般項がわかり極限がわかります。
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猫野の解析は
鉄則微分・積分
をテキストとして使っています。
鉄則ゼミ４の問題を解いています。
