[msg#wsiki]
極限を求める基本である手法の挟み込み（はさみつけ）に関する問題です。
簡単な問題ですが、挟み込み手法がわかります。
問題
（１）
次の極限値を求めよ
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{[x]}{x}\)
ガウス記号[ ]
[x]とは、xを切り捨てて整数にする関数のことです。実数を[ ]で囲った記号はガウス記号と呼ばれています）。
例えば、
- [1.141]=1
- [3.141]=3
となります。
負の数の場合を考えると、切り捨てという言い方は語弊があるかもしれません。
というのは[-1.141]=-1ではなく、[-1.141]=-2とするのが普通だからです。
記号の定義はその場で微妙に変わることがあるので、都度確認しなければなりませんが、
通常ガウス記号は、「ｘを超えない最大の整数を[x]で表す。」と定義されています。
（２）
次の極限値を求めよ
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\sin x}{x}\)
\(x \rightarrow 0\)
だと公式が使える問題になりますが、この問題は、
\(x \rightarrow \infty\)
の極限です。
（３）
次の極限値を求めよ
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x^\circ}{x}\)
注：\(x^\circ\)とは度数法で角度を表しています。つまり直角を90°として表すのが度数法で右上に○を付けます。対するラディアンを単位とする角度を表す方法は弧度法といいます。弧度法では、直角が\(\pi/2\)になります。
解き方
いずれも無限大での極限値の問題です。
この問題の場合、ｘは正の数を取ると考えます。∞は実数ではありませんが、頭の中では限りなく大きい正の実数と考えて差し支えありません。
見慣れないガウス記号や度数法がでてくるので、ちょっととっつきにくいですが、本来の極限の意味がわかっていれば、全然難しくない問題です。
答え自体は簡単ですが、解答の書き方は難しいです。答えが簡単と思う問題の解答は、意外になにをかいたらよいのか悩んでしまうからです。
答えの書き方に関しては、出題者がどういった意図で問題を出しているのかをよく考え、それに沿って書くようにします。
とはいっても、出題者が考えた出題の意図を把握するのがある意味難しいです。
この問題の場合は極限の問題ですので最終的には、挟み込み（はさみつけ）と呼ばれる方法で解答を作ります。
この挟み込みによる開放が極限を求めるときのもっとも原始的な方法で、正確な方法です。
ある実数の区間でg(x)≦f(x)≦h(x)の関係がある場合、g(x),h(x)が同じ値に収束するのであれば、間いに挟まれたf(x)もその同じ値に収束するというのが挟み込みと呼ばれる極限を求める手法です。
f(x)がg(x)とｈ(x)で挟まれているからそのように呼ばれます。
この当たり前ともいえる方法ですが、一般には、f(x)を挟み込む都合の良い関数g(x)とh(x)を見つける事がかなり難しいです。
（１）
\( x-1 \lt [x] \le x \)
という関係式を利用します。
この不等式は、ガウス記号がでてきたときの鉄則です。
ここではそれほど重要ではありませんが、等号の位置がどこにあるのか注意してください。
（２）
\( -1 \le \sin x \le 1 \)
という関係式を利用します。
（３）
これは、単位が変わっているだけで、有名な極限の公式
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1\)
がすぐに適用できますから、挟み込みする必要がありません。
ですが、公式を証明するためには、挟み込みによる手法が使われています。
有名な公式ですので、証明なしに使うことにします。
よって、挟み込みを使わずに解きます。
\( \theta = x^\circ\)
としたとき、
\( \theta=x \frac{180}{\pi}\)
\( x=\theta \frac{\pi}{180}\)
です。
この公式はわかりにくい(こんがらがる)ので、具体的に
\( 180^\circ =\pi \)
で覚えたほうがよいです。
つまり、
\( 1^\circ= \frac{\pi}{180}\)
です。
解答
（１）
任意の0<xに関して、\( \frac{x-1}{x} \lt \frac{[x]}{x} \le \frac{x}{x} \)で
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x-1}{x}=1\)
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x}{x}=1\)
であるから、
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{[x]}{x}=1\)
（２）
任意の0<xに関して、\( -\frac{1}{x} \le \frac{\sin x}{x} \le \frac{1}{x} \)で
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} -\frac{1}{x}=0\)
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{1}{x}=0\)
であるから、
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\sin x}{x}=0\)
（３）
\( x^\circ=x \frac{\pi}{180}\)
より、
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x^\circ}{x}\)
\(\displaystyle =\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin( x \frac{\pi}{180}) }{x}\)
\(\displaystyle =\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\pi}{180} \frac{\sin( \frac{\pi}{180}) x }{ \frac{\pi}{180} x }\)
\(\displaystyle = \frac{\pi}{180} \)
答え
（１）
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{[x]}{x}=1\)
（２）
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\sin x^\circ}{x}=0\)
（３）
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x^\circ}{x} = \frac{\pi}{180} \)
その他の問題： 数列の極限の問題一覧
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