[msg#wsiki]
問題
関数\(f(x)=x+a \cos x (a>1)\)は、0<x<2πにおいて極小値0をとる。
このとき、この範囲における極大値を求めよ。
解答（解き方）
関数のグラフがどのような形になるのかある程度把握しないと、とっつきにくい問題です。
y=xとy=a cos(x)のグラフをあわせたグラフを思い描けばよいのですが、ある程度訓練しないと慣れないかもしれません。
指定された範囲はcosの一周期に相当しますので、0<x<2πにおいては、まず極大値をとり、つぎに極小値をとるグラフになります。
実際には、関数を微分して増減表をつくり、確認します。
\(f'(x)=1-a \sin x\)
ですので、\(\sin x=1/a\)となるxで極大値と極小値を取ります。
指定された範囲ではa>1ですから、ちょうど２つの解があります。
それをα、β（α＜β）とします。
| ｘ | 0 | α | β | ２π | |||
| f'(x) | + | ０ | – | 0 | + | ||
| f(x) | a | ↗ | ｆ（α) | ↘ | ｆ（β) | ↗ | 2π-a |
極小値が０ですから、f(β)=0です。
これからf(α)を求めると、求める極大値になります。
答え
\(f'(x)=1-a \sin x\)
より、\(\sin x=1/a\)の２つの解を\(α、β（α＜β）\)とすると、\(β=π-α\)で、
\(f(x)\)は、\(x=α\)で極大値、\(x=β\)で極小値をとる。
\(f(β)=0\)より、
\(β-a \cos β=0\)
これから極大値\(f(α)\)を計算すると
\(\displaystyle f(α)=α- a\cos(α)\)
\(\displaystyle =π-β- a\cos(π-β)\)
\(\displaystyle =π-β+ a\cos(β)\)
\(\displaystyle =π-β+ β\)
\(\displaystyle =π\)
答え 極大値は\(π\)
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