任意の複素数zは、長さrと偏角tで下記のように表すことができます。

\(\displaystyle z=r(\cos t +i \sin t)\)

二つの複素数を掛け算すると、長さは長さ通しの積、偏角は和で表される複素数になります。

特に長さ1の複素数を複素数に掛け算するということは、その複素数を偏角の分回転することになります。

 

単に虚数単位iを追加しただけの複素数ですが、このような性質があるのです。

不思議ですね。

 

これは、複素平面ならではの最大の特徴とも言えます。

単なる平面も複素平面として捉えると、掛け算が回転に対応する素晴らしい性質がゲットできるのです。

 

 

回転行列

 

平面座標で、回転する一次変換、つまり回転行列というのがあります。

回転角をθとすると、回転行列は、

\(\displaystyle \begin{pmatrix} \cos t & -\sin t \\ \sin t & \cos t  \end{pmatrix} \)

で表せれます。

 

この行列で、座標(a,b)で表される平面座標の点を角度t(ラジアン)回転した座標を次の行列計算で求めることができます。

\(\displaystyle \begin{pmatrix} \cos t & -\sin t \\ \sin t & \cos t  \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\ b  \end{pmatrix} \)

 

これを計算すると、

\(\displaystyle \begin{pmatrix} a \cos t  – b\sin t \\ a  \sin t +b \cos t  \end{pmatrix} \)

となりますから、回転した座標は、

\(\displaystyle (a \cos t  – b\sin t, a  \sin t +b \cos t  )\)

となります。

 

複素数の掛け算で回転

 

平面座標と、複素平面の対応は、次のようになります。

平面座標のx座標は、複素平面の実数部分
平面座標のy座標は、複素平面の虚数部分

したがって、式でかくと、

座標(a,b)は、\(a+bi\)

に対応するわけです。

複素数a+biを回転角tだけ反時計回りに回転させた複素数は、

長さ1で偏角tの複素数をかければよいです。

つまり、\(a+b i\)に\(\displaystyle \cos t + i \sin t\)

をかければよいのです。

複素数の掛け算をしてみますと、

\(\displaystyle (a+bi)( \cos t + i \sin t)\)

\(\displaystyle =(a \cos t -b \sin t ) +(a \sin t + b \cos t)i\)

となって、実数部分をx座標、虚数部分をy座標に対応させると、

みごとに、先ほど回転行列をつかって求めた

\(\displaystyle (a \cos t  – b\sin t, a  \sin t +b \cos t  )\)

の座標と一致していることが確認できます。

 

 

複素平面を使えば、回転行列を使わなくても、回転座標を素早く求めることができるのです。

 

なんて複素平面は便利なのでしょう。