根号記号(ルート記号)を含んだ指数計算に関する公式集です。

 

特に断りがない限り、\(a,b\)は正の実数です。

中にはa,bが0の場合や負の数でも成立する公式もありますが、それは特別な場合であって例外的に処理する場合が多いため、ここではスッキリ正の実数であると限定しました。

また、ほとんどの公式は\(n,m\)が正の実数であっても公式は成立しています。しかし、公式の形を見やすくするために、\(n,m\)は自然数とみなせる形で公式を呈示しています。

 

 

ルート記号と指数記号の変換公式

ルートの記号は、次の公式で指数記号に変換することができます。

 

\(\displaystyle \sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}\)

 

指数記号に変換することで、指数計算の公式を駆使することができるようになります。

 

 

根号基本公式

 

  • \(\displaystyle \left(\sqrt[n]{a}\right)^n=\sqrt[n]{a^n}=a \\\)
  • \(\displaystyle \left(\sqrt[n]{a}\right)^m=\sqrt[n]{a^m} \\\)
  • \(\displaystyle \sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[nm]{a} \\\)
  • \(\displaystyle \left(\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}\right)^k=\sqrt[nm]{a^{k}} \\\)
  • \(\displaystyle \left(\sqrt[n]{a^m}\right)^k=\sqrt[n]{a^{mk}} \\\)
  • \(\displaystyle \frac{1}{\sqrt[n]{a}}=\frac{\sqrt[n]{a^{n-1}}}{a} \\\)
  • \(\displaystyle \sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a} \sqrt[n]{b} \\\)
  • \(\displaystyle \sqrt[n]{\frac{b}{a}}=\frac{\sqrt[n]{b}}{\sqrt[n]{a}} \\\)
  • \(\displaystyle \sqrt[n]{a} \sqrt[m]{b}=\sqrt[nm]{a^m b^n} \\\)
  • \(\displaystyle \frac{\sqrt[n]{b}}{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[nm]{\frac{b^m}{a^n}} \\\)
  •  

根号記号がある式の有理化の公式

\(a \ne b\)とします。

  • \(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{a}}=\frac{\sqrt{a}}{a} \\\)
  • \(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a-b} \\\)
  • \(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{a-b} \\\)

 

  • \(\displaystyle \frac{1}{\sqrt[3]{a}}=\frac{\sqrt[3]{a^2}}{a} \\\)
  • \(\displaystyle \frac{1}{\sqrt[3]{a^2}}=\frac{\sqrt[3]{a}}{a} \\\)
  • \(\displaystyle \frac{1}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}}=\frac{\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}}{a+b} \\\)
  • \(\displaystyle \frac{1}{\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}}=\frac{\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}}{a-b} \\\)

 

2重根号の公式

\(\displaystyle \sqrt{a \pm \sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}} \pm \sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}\)

 

複素数の根号公式

\(b \gt 0\)とします

  • \(\displaystyle \sqrt{a+bi}\\=\pm \left(  \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2+b^2}}{2}} + \sqrt{\frac{-a + \sqrt{a^2+b^2}}{2}i}  \right)\\\)
  • \(\displaystyle \sqrt{a-bi}\\=\pm \left(  \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2+b^2}}{2}} – \sqrt{\frac{-a + \sqrt{a^2+b^2}}{2}i}  \right)\\\)

 

複素数の平方根(ルート)を求める公式と使用例 も参照してください。