\(\mathbb{Q}(\sqrt{2})\)についてのまとめ情報です。
\(\mathbb{Q}(\sqrt{2})\)は、実二次体です。
この代数体は、有理数体\(\mathbb{Q}\)を除くと、最もよく取り扱われる実代数体です。
ガロア群
\(\mathbb{Q}(\sqrt{2})\)は、\(\mathbb{Q}\)上のガロア拡大です。
ガロア群は、位数2の巡回群です。
ガロア群を\(\{1,σ\}\)とすると、
\(σ(a+b\sqrt{2})=a-b\sqrt{2}\)
となっています。
代数体\(\mathbb{Q}(\sqrt{2})\)
代数体\(\mathbb{Q}(\sqrt{2})\)は、\(\mathbb{Q}\)と\(\sqrt{2}\)で生成される代数体です。
\(\displaystyle
\mathbb{Q}(\sqrt{2})\\
=\mathbb{Q}+\mathbb{Q}\sqrt{2}\\
=\{a+b\sqrt{2}|a,b \in \mathbb{Q}\}
\)
最小多項式
\(\sqrt{2}\)の最小多項式は、\(X^2-2\)です。
整数環\(\mathbb{Z}[\sqrt{2}]\)
\(\mathbb{Q}(\sqrt{2})\)の整数環は、\(\mathbb{Z}[\sqrt{2}]\)です。
\(\{1,\sqrt{2}\}\)はこの整数環\(\mathbb{Z}[\sqrt{2}]\)の基底(整数基)です。
この整数環は、単項イディアル整域です。
判別式
\(\displaystyle
D= \begin{vmatrix}1&\sqrt{2}\\
1&-\sqrt{2}\end{vmatrix}^2
=8\)
\(\mathbb{Q}(\sqrt{2})\)の判別式は8です。
単数
\(\mathbb{Q}(\sqrt{2})\)の、単数基はただ一つの基本単数\(ε\)からなります。
\(ε=1+\sqrt{2}\)
です。
単数基準
\(\mathbb{Q}(\sqrt{2})\)の単数基準は、
\(\log({1+\sqrt{2}})\)
です。
