代数体 \( \mathbb{Q}(\sqrt{-5}) \) は、類数が 1 でない代数体の一例です。
代数体 \( \mathbb{Q}(\sqrt{-5}) \) の性質
整数環
\( \mathbb{Q}(\sqrt{-5}) \) の整数環 \( \mathfrak{o} \) は、
\( \mathfrak{o} = \mathbb{Z}(\sqrt{-5}) \)
です。
整数基として、 \( \{1, \sqrt{-5}\} \) をとることができます。
すなわち、
\( \mathfrak{o} = [1, \sqrt{-5}] = \mathbb{Z} + \mathbb{Z}\sqrt{-5} \)
\( \mathbb{Q}(\sqrt{-5}) \) の判別式は、 \(-20\) です。
整数環では素因数分解の一意性が成立しない
\( \mathbb{Z}(\sqrt{-5}) \) は、素因数分解の一意性が成立しない環です。
これは、6 の素因数分解を見るとわかります。
\( 6 = 2 \cdot 3 = (1 + \sqrt{-5})(1 – \sqrt{-5}) \)
と、2 通りに分解されます。
整数環は単項イディアル環ではない
\( \mathfrak{q} = (2, 1 + \sqrt{-5}) \)
は単項イディアルでない例です。
有理素数 \( p \) の分解について
\( p \) を有理素数とします。
\( p = 2, 5 \) の場合
\( (p) = \mathfrak{p}^2 \) と、素イディアルの平方として表されます。
すなわち、分岐します。
具体的には、
\( (2) = (2, 1 + \sqrt{-5})^2 \)
\( (5) = (\sqrt{-5})^2 \)
です。
\( p \equiv 1, 9 \pmod{20} \) の場合
\( (p) = \mathfrak{p} \mathfrak{p’} \)
と、相異なる素イディアルに分解します。
このとき、 \( \mathfrak{p} \) は単項イディアルです。
これは、
\( p = a^2 + 5b^2 \)
となる有理整数 \( a, b \) が存在することと同値です。
例
\( 29 = 3^2 + 5 \cdot 2^2 \)
\( 41 = 6^2 + 5 \cdot 1^2 \)
\( p \equiv 3, 7 \pmod{20} \) の場合
\( (p) = \mathfrak{p} \mathfrak{p’} \)
と、相異なる素イディアルに分解します。
このとき、 \( \mathfrak{p} \) は単項イディアルではありませんが、
\( (2, 1 + \sqrt{-5}) \mathfrak{p} \) は単項イディアルになります。
これは、
\( 2p = a^2 + 5b^2 \)
となる有理整数 \( a, b \) が存在することと同値です。
例
\( 2 \cdot 3 = 1^2 + 5 \cdot 1^2 \)
\( 2 \cdot 7 = 3^2 + 5 \cdot 1^2 \)
\( p \equiv 11, 13, 17, 19 \pmod{20} \) の場合
\( (p) \) は素イディアルです。
このイディアルは分解しません。
