円を使ったピタグラス数を求める方法で、ピタゴラス数の式を少し変形した式の整数解を求めてみました。
どんな解が得られるでしょうか。
問題
\(a^2+2b^2=c^2\)
となる整数の組(a,b,c)を求めよ。
コメント
a=1,b=2,c=3が解であることがわかっています。
解が1,2,3と順番に並んでいるというので有名な不定方程式です。
解法
一組の整数解が求められているのでそれを利用します。
まず、問題の式の両辺を\(c^2\)で割って変数を減らします。
\((a/c)^2+2(b/c)^2=1\)
から
\[x^2+2y^2=1\]
を満たす有理数解(x,y)を求める問題と捉えます。
a=1,b=2,c=3が解であることを使うと、x=1/3,y=2/3が一組の有理数解であることがわかります。
点(1/3,2/3)を通る傾きmの直線を考えます。
\[y-2/3=m(x-1/3)\]
これと問題の楕円の式との交点を求めます。分数の式にがでてきますが、ベタにやってみます。
\(y=m(x-1/3)+2/3\)を楕円の式に代入します。
\(x^2+2(m^2(x-1/3)^2+4m/3(x-1/3)+4/9)-1=0\)
x=1/3が解になるはずですから、x-1/3は温存して計算します。
\((x-1/3)(2m^2(x-1/3) +8m/3 ) +(x-1/3)(x+1/3)=0 \)
\((x-1/3)(2m^2(x-1/3) +8m/3 +x+1/3 )=0 \)
\((x-1/3)(2m^2 x +x – 2m^2/3 +8m/3 +1/3 )=0 \)
\((x-1/3)((2m^2 +1)x – 2m^2/3 +8m/3 +1/3 )=0 \)
これから
x=1/3と
\[x=\frac{2m^2-8m-1}{6m^2+3}\]
が求められました。
これから、(1/3,2/3)ともう一つの交点は、
\(\displaystyle \left(\frac{2m^2-8m-1}{6m^2+3}, \frac{-4m^2-2m+2}{6m^2+3} \right)\)
これから、
\(a=2m^2-8m-1\)
\(b=-4m^2-2m+2\)
\(c=6m^2+3\)
を得ることができました。
ただしmを整数としたときに整数解(a,b,c)が得られますが、これがすべての整数解かというと、それは否定的です。
例えば、mが(整数でなく)有理数でも、a,b,c(の整数倍)が整数になる可能性があるからです。
ここは、私の実力不足による至らない点です。
ただ、無数に整数解を得ることができました。
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コメント
整数解をすべて求めるのは難しい。トホホ。
m=-1/4の時、a=9/8,b=9/4,c=27/8となります。
