自然数を使った無限大
1を次々に足していく
\(1+1+1+\cdots\)
自然数を次々に足していく
\(1+2+3+\cdots\)
小さい順に素数を掛けていく
\(2*3*5*\cdots\)
こういった操作を行うといくらでも大きい数ができる。
いわゆる無限大になる。
こうやって作った無限大は自然数と言えるのだろうか？
無限大は自然数か
無限大も自然数も定義を与えてないので答えの作り用がない命題であるが、（漠然とかんがえている）自然数と（漠然と考えている）無限大、があって、その（漠然と考えている）無限大が（漠然と考えている）自然数の延長と考えているのかどうか。それについて考える。
自然数は数えられる数である。無限大は数えられない。だから自然数ではない。
自然数ならば、素因数分解できるであろう。無限大を素因数分解することはできない。素数をすべて掛け合わせた時にできる無限大があったとしても、それが約数として２をもつかどうかもわからない。持っているとも持っていないともいえる。
無限大は実数か
まず、無限大は数でないので、数である実数とみなすことはできない。
しかし、無意識の中では案外と無限大を実数の延長のように考えてはなかろうか。
もちろん、片割れの実数としてであって、通常の実数と同じとはいえないが。無限大のどこが実数に似ているかというと、大小比較ができるという点であって、逆にどこが実数と違っているかというと、演算ができないという点である。
無限大は、どういうときに出現するのかというと、大小の比較をするときにでてくるのである。とにかく、大きい数、それを無限大と考えている。どれくら大きいのかは言及しない。必要に応じて十分に大きい数であれば、それは無限大なのである。
無限大は実数と大小比較ができる点で実数とみなせる。
実数も自然数も最大値がない。最大値を考えると途端に矛盾が引き起こされる。したがって、最大値は考えずに上限を考える。自然数や実数には上限もないのであるが、上限が欲しい時があるのである。無限大はその上限としての存在として認められることがある。いかなる実数よりも大きい実数が無限大だ。そのような上限をみとめると、なにかと便利である。記法的に。
よって、実数と大小比較するときにおいては、無限大は実数である。
無限大は自然数か
また、もとの命題に戻ってきた。
自然数は数えられる数であるが、あらゆる自然数より大きい実数があるか。ない。どのような実数であっても、それより大きい自然数がある。
それでは、比較するときに登場した無限大はいかなる自然数よりも大きいと考えてよいのであろうか。
無限大は、自然数の上限と考えてよいかである。
実数で考えたことは、同様に自然数でも考えられるだろう。
自然数と大小比較するときにおいては、、無限大は自然数である。
まとめ
無限大をなんらかの順序の最大限（極大元）と考えた場合
無限大は、自然数の最大値でもないし、実数の最大値でもない。
しかし、無限大は、自然数の上限であり、実数の上限でもあると考えることはできる。
広告
