[msg#wsiki]
問題
次の各値を\(f^{\prime}(1),f(1)\)で表わせ。
ただし、（３）では\(f(1)\ne 0\)とする。
（１）
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1}\frac{f(x^2)-f(1)}{x-1}\)
（２）
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1}\frac{x^2f(1)-f(x^2)}{x-1}\)
（３）
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1}\frac{\sqrt[3]{f(x)}-\sqrt[3]{f(1)}}{x^2-1}\)
解答（解き方）
これは、合成関数の微分の問題です。
微分の定義をしっかり理解していないと、問題の意味すらわからないと思います。
問題の意味がわからない場合には、まず\(f(x)=\sin(x)\)のように具体的な関数を作って問題文を解釈するとよいと思います。
\(f(x)=\sin(x)\)とした場合、（１）の問題は、
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1}\frac{\sin(x^2)-\sin(1)}{x-1}\)
を\(\sin^{\prime}(1)=\cos(1),\sin(1)\)で表わせという問題になります。
\(h=x-1\)とおいて、
\(h \rightarrow 0\)の式に変形したほうが見通しがよいと思います。
重要公式（合成関数の微分）
\(\displaystyle (f(g(x)))^{\prime}=f^{\prime}(g(x))g^{\prime}(x)\)
これを極限の式で書き表すと
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow a} \frac{f(g(x))-f(g(a))}{x-a}= \lim_{x \rightarrow a}\frac{f(g(x))-f(g(a))}{g(x)-g(a)} \frac{g(x)-g(a)}{x-a}\)
簡単に見える式ですが、かなり意味深く重要です。めちゃくちゃ重宝する公式です。
重要公式（多項式の微分）
\((x^n)^{\prime}=nx^{n-1}\)
\(n\)が整数でない場合でも使える公式であるが、
\(n\)が有理数の場合などは定義域が制限される（\(0\lt x\)のように）ことに注意する。
（１）
\(f(x^2)\)が、\(f(x)\)と\(x^2\)の合成関数である事を利用します。
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1}\frac{f(x^2)-f(1)}{x-1}\)
\(\displaystyle =\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f((1+h)^2)-f(1)}{h}\)
\(\displaystyle =\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f((1+h)^2)-f(1)}{(1+h)^2-1}\frac{(1+h)^2-1}{h}\)
\(\displaystyle = f^{\prime}(1)\cdot 2\)
\(\displaystyle = 2f^{\prime}(1)\)
（２）
(1)の問題を少し改変した問題です。(1)の結果が利用できます。
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1}\frac{x^2f(1)-f(x^2)}{x-1}\)
\(\displaystyle =\lim_{x \rightarrow 1}\frac{-(f(x^2)-f(1))+(x^2-1)f(1)}{x-1}\)
\(\displaystyle =\lim_{x \rightarrow 1}\left( -\frac{f(x^2)-f(1)}{x-1} +f(1)\frac{x^2-1}{x-1} \right) \)
\(\displaystyle = -2f^{\prime}(1)+2f(1) \)
（３）
\(\sqrt[3]{f(x)}\)が、\(\sqrt[3]{x}\)と\(f(x)\)の合成関数である事を利用します。
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1}\frac{\sqrt[3]{f(x)}-\sqrt[3]{f(1)}}{x^2-1}\)
\(\displaystyle =\lim_{x \rightarrow 1}\frac{\sqrt[3]{f(x)}-\sqrt[3]{f(1)}}{f(x)-f(1)} \frac{f(x)-f(1)}{x-1} \frac{x-1}{x^2-1}\)
\(\displaystyle = \frac{1}{3}(f(1))^{-2/3} f^{\prime}(1) \frac{1}{2}\)
\(\displaystyle = \frac{1}{6}f(1)^{-2/3} f^{\prime}(1) \)
答え
（１）
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1}\frac{f(x^2)-f(1)}{x-1} = 2f^{\prime}(1)\)
（２）
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1}\frac{x^2f(1)-f(x^2)}{x-1} = 2(f(1)-f^{\prime}(1)) \)
（３）
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1}\frac{\sqrt[3]{f(x)}-\sqrt[3]{f(1)}}{x^2-1} = \frac{1}{6}f(1)^{-2/3} f^{\prime}(1) \)
補足
「ただし、（３）では\(f(1)\ne 0\)とする。」について
あまり意識されずに公式が使われていますが、\(x^n\)の微分公式では\(n\)の値によって、\(x=0\)が定義されない場合があるからです。この問題では、\(n=1/3\)の場合ですので\(x^{-2/3}\)は\(x=0\)で定義されません。
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