∞に発散する数列
∞に発散する数列がたくさんある。
そのような数列の比をとると、必ずしも１になるわけではない。つまり、∞にもいろいろあるということである。
\(a=\{3 n\}\)、\(b=\{ n^2\}\)の２つの数列はどちらも∞に発散する。
また、\(a,b\)から作られる新しい数列、\(c=\{b_n/3 n\}\)、という数列も∞に発散する。これが∞にもいろいろあるという説明の例である。
∞に発散する数列の集合
∞に発散する数列がどれくらいあるかというと、これまた無数にある。なぜなら、２つの∞に発散する数列からまた別の発散する数列が生成できて、これは無限に続けることができるから。
それならば、∞に発散する数列をあつめて集合Sを作る。この集合Sに順序を導入する。
∞に発散する数列の順序
\[ S=\left\{ x =\{ x_n\} \left| \lim_{n→∞}x_n =+∞ \right. \right\} \]
\(a=\{a_n\} \in S \)、\(b=\{ b_n\} \in S\) とする。
\(a \le b \underset{def} ⇔ 0 \le \lim_{n→∞} (b_n -a_n) または → ∞ \)
で順序を定義する。
問題は、この順序でSに最小となる数列が存在するかだ。
∞に最小値は存在しない
\( m=\{m_n\} \in S \) を\(S\) の最小元だと仮定する。
すなわち、任意の\( x \in S \) に対して\( m \le x \) とする。
\( m/2=\{m_n/2\} \in S \) であるから、\(m\) の最小性より\( m \le m/2 \) である。
ところが、\( \lim_{n→∞}{m_n/2-m} =-∞ \)であるので、\( m \le m/2 \) に反する。これは矛盾。
よって、\( m=\{m_n\} \in S \)は\(S\) の最小限ではない。
結論
最小の無限大は存在しない。
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