集合論 ヒルベルトホテル（無限ホテルふたたび考察）
無限ホテル（ヒルベルトホテル）ふたたび、無限ホテル(ヒルベルトホテルと呼ぶのが専門的のようだ)の登場である。可能無限、実無限の概念をつかって、再度無限ホテルについて考えてみる。無限ホテルは、満室であっても新しい来客が来たら宿泊可能であった。...
猫野 流星
集合論 無限 可能無限、実無限
無限にはいろいろと種類がある（と考えた方が自然だ）。視点の違いから、可能無限と実無限とで区分けするとなにかと話しやすい。両者はともに見えない概念であって、違いを説明するのはなかなか難しいが、わかりやすく説明しているサイト（例えば）があるので...
無限 x→0とx→∞における極限の意味の違い
解析でよく極限値を求めることがあるが、極限を求めるときに実は２種類ある。それは、$$ \lim_{x→0} f(x) と \lim_{x→∞}f(x) $$いつもは、両者とも極限を表す式である。\(y=1/x\)とおいて、\(+0\)の記...
無限 記号∞（無限大）
無限大の記号∞は便利なのでこれまでも使ってきた。解析学でもよく使われる。例えば$$\lim_{n→∞} \frac{1}{2^n}$$のように。これがあたかもnが∞という数になった場合の結果であるかのように思えてならないが、ここでいう∞は代...
無限 ゼロと無限小
無限大と無限小、これらは、数のようであるが、数ではない概念である。これらを数として扱いたいのはやまやまであるが、今のところ数としては扱わない。無限小とは、ゼロでない正の数で限りなくゼロに近い数としてよく表現される。無限小はあたかも数のように...
集合論 基数と連続体仮説
無限の大きさは濃度という尺度で測定できる。無限集合の大きさが一つでないことがわかっている。つまり、一言で「数え切れない」と言っても、その意味は一つではないということだ。それでは、無限の大きさはどれくらいの種類があるのだろうか。これがまた数え...
無限 無限ホテル
無限について、その性質を表している有名な話が無限ホテルの話である。部屋が無限にあるとどうなるか。そんなホテルは現実にはありえないが、数を考える上ではいたるところに無限ホテルが存在しているのである。例えば、実数を小数表示で表したとしよう。実数...
無限 無限階段地獄
無限階段地獄とは、降りることのできない階段のことです。アキレスと亀の逆のような話です。２階から１階に降りる階段があるとします。その階段は、１段目が半分の位置、２段めは下から1/4の位置、３段目は下から1/4の位置と段差が半分、半分と繰り返さ...
無限 アキレスと亀
パラドックスの例としてよくでてくる、アキレスと亀の寓話。私が、無限について最初に考えるきっかけとなった話だ。無限の話をするときには、かかせない。それは有名なゼノンのパラドックスゼノンのパラドックスとして紹介されるが、よくよく考えると、パラド...
代数 数はメタ構造を持っている
新しい数を定義するために数が使われる。例えば、分数を定義するのに自然数が使われる。すなわち、数はメタ構造をもっている。数は数を定義するのに適している。それでは、数を定義するときに使われる数を遡っていくとどこにたどり着くだろうか。数の元祖とし...