無限にはいろいろと種類がある(と考えた方が自然だ)。
視点の違いから、可能無限と実無限とで区分けするとなにかと話しやすい。

両者はともに見えない概念であって、違いを説明するのはなかなか難しいが、わかりやすく説明しているサイト(例えば)があるので、ここではその説明を省こう。
いつかは、私も自分なりの説明を試みたいと思う。
そして、自分の理解が正確かどうか確かめてみたい。

自分なりに要約すると、
可能無限は内からみた無限、
実無限は外からみた無限、
このように、無限の状態を観察する視点の違いを表している。いろいろ調べ、例をみると、
最終的には、この説明が一番しっくり来た。

もっと、くだいていうと、可能無限は永遠に終わらない(尽きることがない)無限である。
実無限は、永遠に終わらない無限を一段高いところからみて、その集積点を指す。

さらにもっと具体的(数学的)な例をあげると、
等式
\[ \frac{1}{2^{1}}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+\dots \]
は終わることのない足し算とみなせるから、可能無限を使った式である。

一方、この級数が収束するものとして、その収束値(極限値)を表す
\[ \sum_{k=1}^∞ \frac{1}{2^k} \]
つまり、\[ \lim_{n→∞} \sum_{k=1}^n \frac{1}{2^k} \]
は、収束している特定の数を表しているから、実無限を使った和といえる。

へたな説明はこれぐらいにして、ここで言いたいのは、可能無限と実無限は、考えている視点の違いを短い言葉で言い表せるので、実に便利だということだ。

なにかを説明するさいに、突発的に小難しい用語を使うことによって、主張がぼんやりないように、
このサイトではできるだけ具体例を通した説明に徹したいと考えているが、可能無限と実無限はなにかと便利である用語だ。

例えば、アキレスと亀の寓話のように、パラドックスと思える現象も実は見ている視点が異なっているだけだということを説明するときに使える。

べっと、図解で可能無限と実無限を説明しました。