代数 複素数を使った多項式の因数分解
因数分解の公式はよく教科書にわかりやすく載っていますが、複素数をつかった因数分解の公式はあまり載っていません。最も簡単な例は、\(\displaystyle a^2+b^2\)の因数分解です。３乗多項式の展開と因数分解公式複素数の因数分解を...
猫野 流星
代数 代数 ゼロで割ることができない事には理由がある
数学では、ゼロで割ることが禁止されています。そんなこと、学校で習った覚えがないかもしれないかもしれません。中学校ぐらいで習うはずですが、あまり重要視されてないのか、本格的にゼロ割禁止が表にでてくるのは高校ぐらいからです。小中学の計算問題で分...
代数 複素数の計算に関する公式まとめ
複素数は、二つの実数\(a,b\)を使って\(a+bi\)の形で表すことができます。ここで、\(i\)は虚数単位で２乗すると-1になる数（の中の一つ）です。つまり、\(\displaystyle i^2=-1\)ここで\(a\)の部分をその...
代数 ルートの中を正にする理由
「ルートの中は正(またはゼロ)でなければならない。」とよく言われます。しかし、複素数（虚数）の計算ではルートの中が負になることがあります。どういうことでしょうか？ルートの中は負の数でもよいのではないでしょうか？かならず、正にしなくてはならな...
代数 指数が絡んだルート計算の公式
根号記号(ルート記号)を含んだ指数計算に関する公式集です。特に断りがない限り、\(a,b\)は正の実数です。中にはa,bが0の場合や負の数でも成立する公式もありますが、それは特別な場合であって例外的に処理する場合が多いため、ここではスッキリ...
無限 無限の点の個数が数えられるのなら長さの概念はいらない
点が集まって線ができるとします。もちろん、有限の点では線にはなりませんが、「無限に集まると線になるであろう！」と考えたくなりますね。無限の個数を数えるのは、至難の技です。というか、無限の個数を数えるのは、不可能です。なのに、なんとか無限を手...
無限 アキレスが亀に追いつかない現象をわかりやすく説明するよ
ゼノンのパラドックスの中でも「アキレスと亀」の話は特に有名で、広く知られています。足の速いアキレスが、足の遅い亀を少し後ろから追いかけるのですが、なぜかいつまでたってもアキレスは亀を追い越せない――これがパラドックスの内容です。最初にこの寓...
実数の作り方 数直線上の点と実数が１対１に対応しているなんて真っ赤な嘘
よく、数直線上の１点を実数に対応させますよね。直線L上の点の座標を(a,b)とするとか、複素平面だとa+biで平面上の点を指し示したりします。もちろん、ここでのa,bはある実数です。点が（無限に）集まったら線になる、平面になる、あるいは、線...
無限 偶数と奇数はどちらが多いか
偶数と奇数はどちらも、個数を数えることはできませんが、 多い、少ないで考えるとどうなるでしょうか？模範的な解答が何個かあると思いますが、無限にたくさんあるものでも比較できるとなにかと便利でしょう。 偶数も奇数もどちらも無数にあるので、どちら...
代数 回転行列の代わりにもなる複素数
任意の複素数zは、長さrと偏角tで下記のように表すことができます。\(\displaystyle z=r(\cos t +i \sin t)\)二つの複素数を掛け算すると、長さは長さ通しの積、偏角は和で表される複素数になります。特に長さ1の...