よく、数直線上の１点を実数に対応させますよね。
直線L上の点の座標を(a,b)とするとか、複素平面だとa+biで平面上の点を指し示したりします。
もちろん、ここでのa,bはある実数です。
点が（無限に）集まったら線になる、平面になる、あるいは、線を分割していったら、究極には点になる。
このような発想はある意味自然ですが、厳密的には先入観に基づいた感覚的な実感です。
点をいくら集めても線にはならない
こんなことを書いて大丈夫なんだろうか。
というのも、私は、点がたくさん集まったのが線(線分)だと考えていました。
いまでも、そう考えることはありますが、点とは長さ０の線とみなしていたわけですね。
これは、とんでもない発想なのです。
長さ０の線分と点は同じといえば同じと言えます。
だからといって、長さ０の線分がいくら集まっても線分にはなりません。
無限に集まってもです。
無限にそのような力はありません。
どうしてかというと、０は、何倍しても０だからです。
つまり、長さ０の線分がいくら集まっても長さ０にしかならないということです。
そんな０でも、無限倍すれば有限になるのでは？
それもおかしいです。０は無限倍しても０です。
定義次第では０×∞が０でない場合にできる？
その定義があったとして、その０の定義もよく確認してみてください。
それは本当に０ですか？
無限小になっていませんか？
無限小は０じゃないですよ。
もし、０になにかをかけて０以外の有限になるとしたら、
それは０の逆数を考えることになっています。
０の逆数を考えた定義は可能かもしれませんが、そのような数の体系は使い物になりません。
０に逆数があることで、数学の論理は根底から見直しが必要となってきます。
新しい数の体系ができることになりますから、ある意味歓迎的な発想です。
０の逆数を考えるというのは、相当な覚悟でないと潰されてしまいます。
そこで考え出されるのは、０ではなく無限小の長さでしょう。
ここは、まだ救いの余地があります。
無限小の線分を考えることはできますが、それは点ではありませんね。
点に無限小の長さをもたせたらおかしなことになりますよ。
点は点です。０次元です。
無限小の長さの線分と点は似ていますが全然違います。
文字通り次元が違います。
長さ０の線つまり点がいくらあつまっても線にはなりません。
無限に集まっても線になりません。
０は無限にも打ち勝ちます。
それが０です。
いくら実数が多くても、数直線上を覆い尽くせない。
さて、数直線上の点は実数で表します。平面は複素数で表します。
素晴らしい考え方ですね。
しかし、点をいくら集めても線にはなりません。
数直線上の実数が指しているところは点です。
これは、どういうことか？
「点をいくら集めても線にならない」これを思い出してください。
実数は点に対応しています。
結論がでました。
「実数(点)をいくら集めても線にならない」
これでわかったかと思います。
直線上には、たくさんの点が対応していますが、その点をすべて実数で対応つけようなんてことは不可能なのです。
「直線上の点の個数」、「実数の個数」どちらも無限で数えられるものではないですが、点の個数のほうが遥かに多いという結論です。
実数は連続とよくいわれますが、「連続＝繋がっている(≒接している)」とは違いますよ。
簡単に示すのが難しいのですが、実数を切断できるデデキントナイフを使うと、実数で埋め尽くされたと思ってる数直線ですが、実はスカスカであることがわかります（念のたために書いておきますが、単純に有理数から実数を定義した方法を真似ただけでは、実数切断から新しい実数を定義しようとしても失敗します）。
数直線を「実数デデキントナイフ」で切っても実数にぶつかるとは限らないと考えてください(通常の「(有理数)デデキントナイフ」で切断したら実数に当たります)。
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