よく、数直線上の1点を実数に対応させますよね。

直線L上の点の座標を(a,b)とするとか、複素平面だとa+biで平面上の点を指し示したりします。

もちろん、ここでのa,bはある実数です。

 

点が(無限に)集まったら線になる、平面になる、あるいは、線を分割していったら、究極には点になる。

このような発想はある意味自然ですが、厳密的には先入観に基づいた感覚的な実感です。

 

 

点をいくら集めても線にはならない

こんなことを書いて大丈夫なんだろうか。

というのも、私は、点がたくさん集まったのが線(線分)だと考えていました。

いまでも、そう考えることはありますが、点とは長さ0の線とみなしていたわけですね。

これは、とんでもない発想なのです。

 

長さ0の線分と点は同じといえば同じと言えます。

だからといって、長さ0の線分がいくら集まっても線分にはなりません。

無限に集まってもです。

無限にそのような力はありません。

どうしてかというと、0は、何倍しても0だからです。

つまり、長さ0の線分がいくら集まっても長さ0にしかならないということです。

そんな0でも、無限倍すれば有限になるのでは?

それもおかしいです。0は無限倍しても0です。

定義次第では0×∞が0でない場合にできる?

その定義があったとして、その0の定義もよく確認してみてください。

それは本当に0ですか?

無限小になっていませんか?

無限小は0じゃないですよ。

もし、0になにかをかけて0以外の有限になるとしたら、

それは0の逆数を考えることになっています。

 

0の逆数を考えた定義は可能かもしれませんが、そのような数の体系は使い物になりません。

0に逆数があることで、数学の論理は根底から見直しが必要となってきます。

新しい数の体系ができることになりますから、ある意味歓迎的な発想です。

 

0の逆数を考えるというのは、相当な覚悟でないと潰されてしまいます。

 

そこで考え出されるのは、0ではなく無限小の長さでしょう。

ここは、まだ救いの余地があります。

無限小の線分を考えることはできますが、それは点ではありませんね。

点に無限小の長さをもたせたらおかしなことになりますよ。

 

点は点です。0次元です。

 

無限小の長さの線分と点は似ていますが全然違います。

文字通り次元が違います。

 

長さ0の線つまり点がいくらあつまっても線にはなりません。

無限に集まっても線になりません。

0は無限にも打ち勝ちます。

それが0です。

 

いくら実数が多くても、数直線上を覆い尽くせない。

 

さて、数直線上の点は実数で表します。平面は複素数で表します。

素晴らしい考え方ですね。

しかし、点をいくら集めても線にはなりません。

数直線上の実数が指しているところは点です。

これは、どういうことか?

 

「点をいくら集めても線にならない」これを思い出してください。

実数は点に対応しています。

結論がでました。

「実数(点)をいくら集めても線にならない」

 

これでわかったかと思います。

直線上には、たくさんの点が対応していますが、その点をすべて実数で対応つけようなんてことは不可能なのです。

「直線上の点の個数」、「実数の個数」どちらも無限で数えられるものではないですが、点の個数のほうが遥かに多いという結論です。

実数は連続とよくいわれますが、「連続=繋がっている(≒接している)」とは違いますよ。

簡単に示すのが難しいのですが、実数を切断できるデデキントナイフを使うと、実数で埋め尽くされたと思ってる数直線ですが、実はスカスカであることがわかります(念のたために書いておきますが、単純に有理数から実数を定義した方法を真似ただけでは、実数切断から新しい実数を定義しようとしても失敗します)。

数直線を「実数デデキントナイフ」で切っても実数にぶつかるとは限らないと考えてください(通常の「(有理数)デデキントナイフ」で切断したら実数に当たります)。