数論 0.999…=1について
\( 0.999 \cdots \)の意味にについて、やはり書いてみたい。\( 0.999 \cdots \)は、私の好きな級数である。もちろん、$$ 0.999 \cdots \underset{\mathrm{def}}{=} \su...
代数
数論 数論 1を引く整数問題
問題\(n \in \mathbb{N}\)の時、\(4^n-1\)は３で割り切れることを示せ。コメントある数から１を引いた問題。１を引いたり足したりすることで、素因数分解の状況ががらりと変わる。２０項まで計算してみると、\( 4^{1} ...
代数 数はメタ構造を持っている
新しい数を定義するために数が使われる。例えば、分数を定義するのに自然数が使われる。すなわち、数はメタ構造をもっている。数は数を定義するのに適している。それでは、数を定義するときに使われる数を遡っていくとどこにたどり着くだろうか。数の元祖とし...
数論 数自身は見ることができないが確かに存在する
数は物質のように見ることができない概念であるが、確かに存在が確信される概念である。１個のりんご、１本の鉛筆、１mの棒、１kgの佐藤、これらを通して１をみるこができるが、それは１その「もの」ではない。数は目で見ることができない概念でありながら...
代数 数とはなにか、これまでのまとめ
数でなにができるか 数は数えることができる、数で測ることができる。 永遠に数えること(操作)ができる。ここから新しい数ができる。 数は演算ができる。 数は比較ができる。ここでいう永遠とは、ある操作が完了することなく継続的にできるという意味。...
数論 超現実数（コンウェイ先生、クヌース先生）
超実数とならんでよく紹介されるのが、ドナルド・E. クヌース先生のかかれた小説にでてくる超現実数である。超実数を考察する上で、無視することができない、というか、研究の題材として具体的で認知度も高い数なので、これを使わない手はない。いわゆる無...
数論 数の演算
数は演算ができる。これも数の特徴としてあげておこう。数える、倍にする、分割する、これらもある種の演算として考えることができるが、単に一つの数から別の数を作り出す操作として捉えていた。この操作は、あるときは、関数として定義され、あるときは、特...
代数 数の比較
比較も演算の一つとして考えられるが、ここでいう比較は、いわゆる大小関係のことである。比較は演算と表裏一体に働く作用であるから特別扱いして、「数は比較できる。」これを数の性質として追加する。実は、これまでも、数と数が等しいかどうかを決定するた...
数論 数とはなにか
数はなにができるか数は数えることができる。数は測ることができる。数えることができる数は離散的と呼ばれる。測ることができる数は連続的と呼ばれる。数が持っている性質を列挙しよう。そして、その性質をもっている「なにか」を探そう。その「なにか」は、...
数論 ブログ始めたよ
数とはなにかを研究していきます。