数は演算ができる。これも数の特徴としてあげておこう。

数える、倍にする、分割する、これらもある種の演算として考えることができるが、単に一つの数から別の数を作り出す操作として捉えていた。

この操作は、あるときは、関数として定義され、あるときは、特別な演算の一つとして定義され、一般的にはある写像の一つとして考えることができる。

演算は、二つの数から別の数を作り出す操作である。演算の対象となる数は有限ではないから、この演算は単なる写像としての意味ではなく、ある数の生成規則として定義される(ことが多い)。さらに、その演算は、ある種の法則を満たしているものを前提として考察する。

ある種の法則とは、いわゆる交換法則、分配法則、結合法則と呼ばれるものである。分配法則は二つの演算を前提とした法則であり、これが示すように、複数の演算のもとでの法則を前提として考えることも多い。

数を考察するうえで、「数は演算ができる。」これを付け加えておこう。そして、その演算はある種の法則を満たしていることを前提として考察しよう。

もちろん、自然数の定義でよく使われている後者関数(これは数から別の数を作り出す操作としてこれまで表現してきた)の存在から自然につくりだされる、加法、そしてその加法から自然に作り出される乗法は、数の演算として考察されるべき重要な例の一つである。

これまでの数の歴史からいろいろな数が生み出されている。数とはなにかを考察するうえで、これらの数がどのようなものであるのか調べることは、数を調べる基礎であり、この基礎を土台として、新しい数の体系を考察するのである。

そして、新しい数の体系から得られるあたらしい性質を調べることで、数の本質的な性質を見つけ出す(あぶりだす)のである。

これが数とはなにかを考察する手段である。

すなわち、考察するとはどういうことかというと、既存の数の性質を調べる、新しい数を作り出す、新しい数の性質を調べる、既存の数の性質と比較する、数の性質や数と数の関係を調べる、これらの作業を繰り返すことである。