猫野の微分積分 微分可能とは限らない合成関数の微分係数を求める問題
問題\(g(x)\)は連続関数（微分可能でとは限らない）で\(g(0)=1\)とする。\(\displaystyle f(x)=\frac{x}{g(x)+2}\)とするとき、\(f^{\prime}(0)\)を求めよ。解答（解き方）\(x...
猫野の微分積分
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猫野の微分積分 微分係数を使って関数の極限を求める問題
問題\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{x} \log_e{\frac{e^x+e^{2x}+\cdots+e^{nx}}{n}}\)（nは正の整数）を求めよ。解答（解き方）微分を...
猫野の微分積分 合成関数の微分公式を使って解く極限の問題
問題次の各値を\(f^{\prime}(1),f(1)\)で表わせ。ただし、（３）では\(f(1)\ne 0\)とする。（１）\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1}\frac{f(x^2)-f(1)}{...
猫野の微分積分 関数の極限公式を用いて数列の極限を求める問題
問題次の数列の極限を求めよ。（１）\(\displaystyle a_n=n \sin \frac{\pi}{6n}\)（２）\(\displaystyle a_n=n(a^{\frac{1}{n}}-1)\)解答（解き方）数列の極限ですが...
猫野の微分積分 ベクトルの長さがからんだ極限の問題は内積で解く
問題\(\vec{a}, \vec{b}\)は、平面上のベクトルで共に長さは１である。\(\vec{a}, \vec{b}\)のなす書角が45°のとき、\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \frac...
猫野の微分積分 ｎ進法の桁数に関する極限の問題（浜松医大）
問題（１）2進法で表したとき３０桁の整数は、１０進法で表すと何桁になるか。\(\log_2{10}=0.3010\)として計算せよ。（２）正の整数nを２進法で表したとき、\(a_n\)桁になるとする。このとき、\(\displaystyle...
猫野の微分積分 二等辺三角形の底辺と内接円の半径の比に関する極限（名古屋大）
問題底辺\(a\)、高さ\(h\)の二等辺三角形がある。（１）この三角形の内接円の半径\(r\)を\(a,h\)を用いて表わせ。（２）\(n\)が0でない整数で、\(ah^n=1\)をみたしながら、\(a,h\)が変化するときに、\(\di...
猫野の微分積分 直線と直線の角度をゼロにしたときの極限問題(名古屋工大)
問題放物線\(y=x^2\)の上の点A\((a,a^2)\)における接線を\( l \)点Aで\( l \)と角\(θ\)、角\(3θ\)で交わる直線\(l_2,l_3\)と放物線のA以外との交点のx座標を\(x_1,x_2\)とするとき、...
猫野の微分積分 抽象的な関数を扱った関数の極限の問題
問題\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} f(x)=\infty, \lim_{x \rightarrow \infty} g(x)=\infty\)\(\displaystyle \lim...
猫野の微分積分 ある極限式が成立するように問題をつくる
問題次の式が成り立つように、\(a,b\)を定めよ。（１）\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \sqrt{ax^2+bx+1}(\sqrt{x}-\sqrt{x-1})=1\)（２）\(\...