無限大と無限小、これらは、数のようであるが、数ではない概念である。これらを数として扱いたいのはやまやまであるが、今のところ数としては扱わない。
無限小とは、ゼロでない正の数で限りなくゼロに近い数としてよく表現される。無限小はあたかも数のように扱われる。実際、数のように扱ってもなんら問題ない場合も多い。限りなく数に似ているのである。
ただ、あまりに数と似ているために、ときおり、無限小×無限大は不定、無限大×無限大＝無限大といった記述も見られる。これはこれで概念の性質を表しているので、異論を唱えないが、注意したいのは、無限小とゼロの区別である。
無限大を∞の記号で表すのはよいとしても、無限小を０（ゼロ）と表記すること、これは絶対にやめるべきだと考える。0/0は不定、∞×０は不定のような表記のことである。これはこれで便利な記法であるのだが、今後の考察では０はあくまでもゼロとして考える。無限大や無限小を数として扱うためには、無限小はゼロであってはならない。
したがって、特に断りがない場合には、０は真のゼロであって、情報的な性質のもとでは、０×∞が不定となることはなく、０×∞＝０であり、０の逆数は存在が許されることはなく、よって0/0は数として定義されない。
無限大、無限小を具体的に考察することは、まだしていないが、今後、無限小（の一つ）を表す記法としては専ら「ε」、場合によっては、「+0」「-0」を使うこととする。
ともかく、無限の概念は、個人差があるのである。この個人差を少しでも少なくするために、0の記法は無限小の意味では使わない。ここでの主題はこのことである。
ただ、極限操作を表すときには、慣例にしたがって、
\[ \lim _{x→0} \frac{\sin(x)}{x} = 1 \]
などと記述することはあるが、混乱はないだろう。
コメント
以下、未熟な質問ですみません。教えて頂ければ幸いです。
物体の表面は目視・認識できているように感じますが、
①この”表面”の厚みは0でしょうか？それとも無限小でしょうか？
②0のような気がしますが、そうすると表面のみでは存在できないということでしょうか？あくまで物体に属した一番外側の境界として存在できるの
でしょうか？
③しかしそれならば、表面（例えば球面）のみを切り出して想像できるのはなぜでしょうか？このときは厚み=無限小と錯覚しているのでしょうか？
④この表面は物体の表面でしょうか？それとも空気の表面でしょうか？
（分子のことは考えず、連続体として考えるとします）
以上です。よろしくお願いします。
訪問とコメントありがとうございます。
正直正解はわかりませんが、私なりの見解を書きます。
分子の事（物理的な事）は考えないということで
数学的（イデア）で考えてみます。
①「表面とは何か？」にも依存しますが、わたしは、普通に表面の厚みは0と考えます。
②この世の中で厚みが0の物の存在を許さないというのであれば、表面は存在することができなくなってしまいますが、そんなことはないと思います。
厚みが0の概念は存在し得ると考えます。
つまり、この世の中であっても、長さが0である物の存在は考えうるということです（例えば点や線のような概念）。
目で認識しているのは、実はデコボコした物体の表面の反射によるもので、実際には素粒子（例えば電子）などにも半径があると考えられているわけですから、目で見た表面と思考空間の中にある物体の表面とは突き詰めていくといろいろと違い、認識されていない部分がでてくると思います。
③長さ（厚み）が0であっても認識できるものはいくらでもあると考えます。むしろ無限小の厚みという言い方がどういうものをさしているのか、実はそちらのほうが曖昧さを持っている（想像しがたい）ように感じます。
④表面が物体に属しているのであれば、物体の表面だと考えます。境界の話をしているように思いますが、
閉区間[0,1]の境界である1は[0,1]に属していると考えるのと同じように考えています。
お役に立てたかどうかわかりませんが、人間には思考の中でいろいろな実験を行い考える能力があります。
その思考空間は、現実の空間と似ているようで異なっていることもよくあります。
存在するということはどういうことか？
について突き詰めていくと、また違った見解がでてくると思います。
一人の意見として受け止めてくれればありがたいです。
自分的には
『人間は3次元の物しか見る事が出来ない』
と考えておりますので、光子を反射して視覚できる『表面』にはある程度の粒子が必要で、粒子が存在する為にはその空間(3次元)が必要なはずですから、『表面』にもゼロではないが極めてゼロに近い極微小の厚みがあると考えています。
ただ、頭の中で『厚みゼロの表面』はあっても良いとは思います。
何故なら脳内思考では表面を『実際に目視』する必要は無いので、そこに光子を反射する為の粒子も必要ないですから。
数学的に有り得ても物理的には有り得ない厚み無しの粒子無しの『脳内表面』ですw
表面が視覚できる『物理的表面』なら極微小の厚み(多分厚みは最小単位の1プランク長)ありで、視覚を必要としない『脳内表面』なら厚みゼロと考えております。