静岡大学 2011年 第2問
問題
（１）pを2と異なる素数とする。\(m^2=n^2+p^2\)を満たす自然数の組\(m,n\)がただ一つ存在することを証明せよ。
（２）\(m^2=n^2+12^2\)を満たす自然数の組\(m,n\)を全てもとめよ。
（１）は、奇素数の問題です。なぜか、p=2の場合はダメなんですね。
解答
（１）
\(m^2=n^2+p^2\)より、
\(m^2-n^2=p^2\)
\((m+n)(m-n)=p^2\)
m,nは自然数(0でない）から\(m+n \ne m-n\)で、さらにいうと\(m+n \gt m-n\)である。
右辺の分解はpが素数であることから\(m+n=p^2,m-n=1\)しかありえない。
これを解くと、\(m=(p^2+1)/2,n=(p^2-1)/2\)。
pが奇数なら、\(m,n\)は自然数となるから、これがただ一つの解である。
（２）
考え方は、（１）と同じですが\(p^2\)と違って、\(12^2\)は二つの積に分ける方法が何通りもあるので、それぞれをチェックするのが大変ですが、地道にやれば解けます。
\((m+n)(m-n)=12^2=2^4 3^2\)より、
\(m+n=2^4 3^2=144, m-n=1 ☓\)
\(m+n=2^3 3^2=72, m-n=2\)
\(m+n=2^2 3^2=36, m-n=2^2=4\)
\(m+n=2^1 3^2=18, m-n=2^3=8\)
\(m+n= 3^2=9, m-n=2^4=16 ☓\)
\(m+n=2^4 3=48, m-n=3 ☓\)
\(m+n=2^3 3=24, m-n=2^1 3=6\)
\(m+n=2^2 3=12, m-n=2^2 3=12 ☓\)
\(m+n=2^1 3=6, m-n=2^3 3=24 ☓\)
\(m+n= 3, m-n=2^4 3=48 ☓\)
\(m+n=2^4=16, m-n=3^2=9 ☓\)
\(m+n=2^3=8, m-n=2 3^2=18 ☓\)
\(m+n=2^2=4, m-n=2^2 3^2=36 ☓\)
\(m+n=2, m-n=2^3 3^2=72 ☓\)
\(m+n= 1, m-n=2^4 3^2=144 ☓\)
これらのなかから、\(m,n\)が自然数になる組をもとめると、
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算数問題です。
『二つの整数ア、イがあり、アはイより大きいです。このとき、ア×イ×（ア＋イ）×（ア－イ）
が３で割り切れる理由を説明しなさい。』
不明なときはブログgontanoeを検索してください。
n>mのとき、nm(n+m)(n-m)が
3の倍数であることを示せばよいわけですね。
※n,mを(自然数でなく)整数とするのなら、n>mの条件はなくてもよいと思います。
仰せのとおり、自然数として、ｎ>ｍは不要ですね。
実は、難しい理屈でなく、式の変形だけで、下記ように説明できると思いましたが、「三個の数が等間隔離れた数であるとき一つは3の倍数である」と初めから言いきっていいかどうか不明です。説明『nm(n+m)(n-m)＝m(n+m)n(n-m)で、(n-m)n(n+m)は三個の数が等間隔離れた数でｍが3の倍数でないならこれらの項のうちのどれか一つは3の倍数である。ｍが3の倍数なら与式は当然に3の倍数である。以上から与式は常に3の倍数である。』
なるほど、与式は常に３の倍数になりますね。
5,14,23のように、間隔が3倍数の場合は、どれも３の倍数にはならないですね。
しかし、間隔が３の倍数でない場合、等間隔の数のうちの一つは３の倍数になります。
このことは、はじめからは言い切れない事だと思います。
n=3h,n=3h+1,n=3h+2と
m=3k,m=3k+1,m=3k+2の
９パターンの組み合わせで考えるやりかたもありますね。
実は、ピタゴラス数の一般式の求め方を、探していて、それは「長方形を対角線で折って出来る、重ならない部分の三角形」から、見つかったのですが、「ピタゴラス数の三数の積が60の倍数である」を、先ほどの式の変形で説明する事ができ、大変興奮しました。ブログに来年だしたいと思っていますので訪問してみて下さい。
なるほど、
言われてみれば
ピタゴラス数の積は６０で割り切れていますね。
φ(..)