関数の極限を計算するときに、∞は正、ｰ∞は負と考える。
わかっているとはいえ、
符号の扱いに注意しないと落とし穴に落ちることがある。
例題
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{\sqrt{x^2+1}-2}{x+1}\)
の極限を求めよ。
まずは、間違えた解答を示す。
誤った解答
与えられた式は不定形の形であるから、1/ｘで表す式へ変形する。
与式
\(\displaystyle =\lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{(\sqrt{x^2+1}-2)(\sqrt{x^2+1}+2)}{(x+1)(\sqrt{x^2+1}+2)}\)
\(\displaystyle =\lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{x^2-3}{(x+1)(\sqrt{x^2+1}+2)}\)
\(\displaystyle =\lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{1-3/x^2}{(1+1/x)(\sqrt{1+1/x^2}+2/x)}\)
\(=1\)
答え 1に収束する。
これは間違えである。
うっかりやってしまう。
正しい答えを下記に示しておく。
正しい解答
与式
\(\displaystyle =\lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{(\sqrt{x^2+1}-2)(\sqrt{x^2+1}+2)}{(x+1)(\sqrt{x^2+1}+2)}\)
\(\displaystyle =\lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{x^2-3}{(x+1)(\sqrt{x^2+1}+2)}\)
\(\displaystyle =\lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{1-3/x^2}{(1+1/x)(-\sqrt{1+1/x^2}+2/x)}\)
\(=-1\)
答え -1に収束する。
あえて説明しないが、解答の式をよくみれば間違えた部分がわかる。
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まとめ
x→-∞の場合、xは負の数だと考えて極限を計算する。
