不足数と過剰数は無数にあるが、完全数は？

自然数nの約数の総和を約数関数σ(n)で表す。

このとき、σ(n)/nの分布がどうなっているのか調べる。

完全数

完全数(perfect number)とは、自分自身を除く正の約数の和に等しくなる自然数のことである。

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これは、約数関数を使うと、

自然数nが完全数　⇔　σ(n)=2n

と書き表すことができる。

σ(n)=2nは、また

自然数nが完全数　⇔　σ(n)/n=2

と変形と書き表すこともできる。

σ(n)/nは、自然数nに対する約数の逆数和に等しい。

したがって、約数の逆数和が２である自然数が完全数ということになる。

 

不足数と過剰数

完全数を堺に、不足数とか定数が定義される。

逆数和が２より小さい自然数を不足数、２より大きい数を過剰数と言う。

式で表すと、

自然数nが不足数
⇔　σ(n)<2n
⇔　σ(n)/n<2

自然数nが過剰数
⇔　σ(n)>2n
⇔　σ(n)/n>2

 

不足数は無数にある

これは、素数の約数和を考えるとわかる。

pを素数とすると、その約数は1とｐの二つである。

したがってσ(p)=1+p

σ(p)/p=(1+p)/p=(1/p+1)<2

素数はすべて不足数である。

 

過剰数は無数にある

これは、m=3･2ⁿの約数を考えるとわかる。

mの約数和は、(1+3)(1+2+…2ⁿ⁾=4(2ⁿ⁺¹-1)/(2-1)=(2ⁿ⁺³-4)

であるから約数の逆数和は、σ(m)/m=(8/3-8/(3･2ⁿ))=(8/3)(1-1/2ⁿ⁺¹)≧2

等号が成立するのは、n=1の時のみであるから、n>2の場合、mは過剰数となる。

 

完全数は無数にあるか？

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残念ながら、この問題は2000年以上たった現在でも未解決である。

発見されている完全数はすべて偶数であるが、奇数の完全数があるかどうかも未解決である。