級数とは
数列\(\{a_n\}\)にたいして、\(\{\sum_{k=1}^{n}a_k\}\)という数列が考えられる。
数列\(\{\sum_{k=1}^{n}a_k\}\)の極限値を数列\(\{a_n\}\)の級数と（ここでは）呼ぶ。
極限をとらずに、有限和で止めた和、\(\sum_{k=1}^{n}a_k\)はｎ項までの部分和と呼ぶ。
級数とは無限の項を足したという意味である。
本来は無限の項の和というものが定義されないのであるが、その部分和からできる数列によって無限の項の和を定義するのである。
部分和が収束すればよいのだが、常に部分和が収束するとは限らない。
発散する級数
任意の数列\(\{a_n\}\)にたいして、級数が常に収束しているとは限らない。収束しない級数を発散する級数というが、発散は２種類に分類できる。
ひとつは、部分和が無限に大きく増え続ける、または無限に小さく減り続ける級数である。各項を絶対値にして作った級数は、無限に大きく増え続ける級数となる。
もう一つは、絶対値が有限値であっても、特定の数に近づかない発散でこの場合は特に振動とも呼ばれる。
この定義では、数列\(\{(-1)^n n\}\)は各項の絶対値が有限でないため振動と呼べないが、特定の数に近づかないという意味で振動に通じる発散級数である。
発散する級数にも実数を対応つける
発散する、すなわち収束しない級数に対してなんらかの実数を割り当てできないかを考える。
発散のなかでも、振動する数列は、上限下限が存在するので、それの範囲内の値を対応付けることを考える。
振動する数列で簡単な数列、\(\{(-1)^n\}\)を例に考えてみよう。
その数列の部分和は、-1,0,-1,0,…と周期的である。
周期的であるので、その１周期に現れる-1,0の平均である-1/2を級数\(\{(-1)^n\}\)の値として採用するのは自然で妥当といえる。つまり、周期的な級数の値は１周期に現れる部分和の平均をその級数の値とみなす方法がある。
総和法
無限項の和の定義によっては、部分和が収束しない数列に対しても和を定義付けできる。
総和法とは、無限項の和の定義ともいえる。上記のように、発散する数列に対しても、なんらかの和の定義を与えるのである。
振動する数列に対しては、なんらかの平均値を考える事によって無限和の定義付けができる。
ところが、なんと、振動しない発散数列に対しても、なんらかの値を対応つける方法が考えられていて、その方法を総和法と呼んでいる。
ゼータ関数
総和法が実際に有効だとわかる具体的な例は、下記の級数を考えるとよい。
これらは、ζ(0),ζ(-1)に該当する級数である。
\[ “1+1+1+\cdots” ＝-\frac{1}{2} \]
\[ “1+2+3+\cdots” ＝-\frac{1}{12} \]
総和法の種類によって、結果が変わることがあるので、級数の先頭(もしくは前後)にどの総和法を使ったのか区別できるように印（記号）をつけておくのが一般的な記法となっている。
発散する級数も、総和法によっては収束する値とみなすことができる。
参考記事
この記事に触発されて調べた。
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