極座標で複素数のn乗根(累乗根)を求める理由

複素数を、極座標表示するとn乗根が求めやすくなります。

 

極座標表示とは、

複素数zを長さrと偏角θで表示する方法です。

\(\displaystyle z=x+y i\)
\(\displaystyle =r(\cos(θ)+\sin(θ) i)\)

とすると、

\(\displaystyle r=\sqrt{x^2+y^2}\)
\(\displaystyle \cos(θ)=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\)
\(\displaystyle \sin(θ)=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\)

という関係があります。

 

極座標表示のなにがよいのかというと、成分が積に分離されている事です。

すなわち、複素数を長さと複素数の符号とでも言うべき\(\displaystyle \cos(θ)+\sin(θ) i\)の積で表すことができています。

長さのn乗根と符号部分のn乗根を別々に求めることで一般の複素数に対してもn乗根を求めることが簡単になります。

 

また、符号部分については、積が偏角の和に対応しますから、n乗根の問題は、n等分する問題に変換されます。

 

直行座標表示と極座標表示の比較

二つの複素数\(z_1\)と\(z_2\)を考えます。

それぞれ、直行座標と極座標で下記のように置きます。

\(\displaystyle z_1=x_1+y_1 i =r_1(\cos θ_1 +\sin θ_1 i)\)

\(\displaystyle z_2=x_2+y_2 i =r_2(\cos θ_2 +\sin θ_2 i)\)

それぞれの和と積を求めてみます。

 

• 直交座標の場合
  \(\displaystyle z_1+z_2=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)i\)
  \(\displaystyle z_1 z_2=(x_1 x_2- y_1 y_2)+(x_1 y_2+y_1 x_2)i\)
  　　　
• 極座標の場合
  ※加法定理をつかって計算すると、
  \(\displaystyle z_1+z_2=(r_1 \cos θ_1+r_2 \cos θ_1)+(r_1 \sin θ_1+r_2 \sin θ_1)i\)
  \(\displaystyle =\sqrt{{r_1}^2+2 r_1 r_2 \cos(θ_1-θ_2) {r_2}^2} ( \cos θ_3+ \sin θ_3 i)\)
  \(\displaystyle z_1 z_2=(r_1 r_2)(\cos (θ_1+θ_2) + \sin(θ_1+θ_2 )i)\)

となります。

\(\displaystyle θ_3\)部分は\(r_1,r_2,θ_1,θ_2\)の関数になりますが、簡単に表現できないので新しい文字で置き換えました。

これからわかるように、直行座標で表現した場合は、和の計算においては、実数部分、虚数部分と独立して計算できますが、積の計算いおいては、実数部分、虚数部分を混ぜ合わせた計算式で実数部分、虚数部分を計算しなければなりません。

 

それに対して、極座標表示の場合、和の計算結果を極座標で表そうとすると、複雑ですが、積に関しては、長さと偏角の計算が分離されています。

 

つまり、

\(\displaystyle z_1 z_2\)の長さは、\( z_1 \)の長さと\( z_2 \)の長さの積である。

\(\displaystyle z_1 z_2\)の偏角は、\( z_1 \)の偏角と\( z_2 \)の偏角の和である。

と、積の長さは長さから、積の偏角はそれぞれの偏角から求めることができるのです。

 

この性質から、ｎ乗根を求めるのには、極座標形式が都合がよいというわけです。

 

 

 

n乗根の長さ

長さは、正の実数ですから、解析的に求めることができます。

\(y=x^{1/n}\)のグラフが単調増加であることから、正の実数\(a\)に対して、\(a\)のｎ乗根はただ一つ存在します。

そして、それは、解析的な方法、つまり挟み撃ちで求めることができます。

 

n乗根の偏角(符号部分)

ｎ乗根の偏角は、円（の中心角）をn等分することで求められます。

偏角がθの複素数のn乗根の偏角は、\((θ+2πk)/n 　ただし、 k=0,1,2,…,n-1\)となります。

丁度、n乗根の偏角としてはｎ個、存在しています。

 

 

複素数のn乗根(累乗根)をもとめる

極座標で表示すると、任意の複素数のn乗根を求めることができます。

長さが r>0、偏角が θである複素数\(r(\cos(θ)+\sin(θ)i)\)のn乗根を求めます。

求めるn乗根を\(u(\cos(v)+\sin(v)i)\)とすると、

\((u(\cos(v)+\sin(v)i))^n=r(\cos(θ)+\sin(θ)i)\)

という関係がありますから、

\(u^n(\cos(nv)+\sin(nv)i)=r(cos(θ)+sin(θ)i)\)

より、実数部分、虚数部分を比較すると、

\(\displaystyle u^n \cos(nv)=r \cos(θ)\)
\(\displaystyle u^n \sin(nv)=r \sin(θ)\)

が得られます。

それぞれの式を自乗して足すことより、

\(u^n=r\)

が得られますから、\( u=r^{1/n} \)が解析的に求められます。

この関係式をもとの２式に当てはめると、

\(\displaystyle \cos(nv)= \cos(θ)\)
\(\displaystyle \sin(nv)= \sin(θ)\)

が得られますが、これから、

\(\displaystyle v=\frac{θ+2\pi k}{n}\)

という関係がわかります。

\((\cos(v)+\sin(v)i)\)がそれぞれ異なるようにkの値を制限すると、

k=0,1,2,…、n-1

のｎ個で丁度となります。

したがって、

\(r(\cos(θ)+\sin(θ)i)\)のn乗根は、

\(\displaystyle r^{1/n}\left( \cos \frac{θ+2\pi k}{n} + \sin \frac{θ+2\pi k}{n} i \right)\)

k=0,1,2,…、n-1

 

となります。

 

 

補足

※注：この記事ではゼロのn乗根は考えていません。

 

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