数学問題 整数問題\((3^m-1)\)の因数[2010京大]
問題(1) \(n\)を正の整数、\(a=2^n\) とする。\(3^a-1\) は\(2^{n+2}\) で割り切れるが\(2^{n+3}\) で割り切れないことを示せ。(2) \(m\) を正の偶数とする。\(3^m-1\) が\(2^...
猫野 流星
数学問題 無限 極限操作で腑に落ちない部分、納得できない！
極限操作でつまずく極限でつまずく？のは、0のような０でないような無限小の扱いではないだろうか。有限では正の実数としなかがら、極限では0とする。正しく理解していれば特に問題はないだろうが、極限や無限の扱いに慣れていないと、勘違いも起こりうる。...
解析 不連続関数
いたるところ不連続な関数として有名なディリクレの関数。ディリクレの関数$$ f(x) = \left\{ \begin{array}{ll}1 & (x\in \mathbb{Q}) \\0 & (\mathrm{otherwise})\e...
数論 0の隣りの実数
実数直線における0の隣の点昨日、隣の点について書いたが、もっと具体的、0の隣に点はあるか。普通の答えは「ない」である。私は、これに違和感を感じる。なぜ違和感を感じるのだろうか。それは、０より大きな数が存在している。数が存在している以上隣りに...
数論 点を集めたら線になるか、線上で隣の点は存在するか
点とは長さゼロの線のことかここで、長さとは、線(曲線)とは、点とはについて、定義がはっきり示されていないが点に長さがあるとすれば、ゼロでなければならない。線は点が集まってできているのか点が集まっても線にはならない。なるとは限らない。有限個の...
数論 最小の無限大は存在するか
∞に発散する数列∞に発散する数列がたくさんある。そのような数列の比をとると、必ずしも１になるわけではない。つまり、∞にもいろいろあるということである。\(a=\{3 n\}\)、\(b=\{ n^2\}\)の２つの数列はどちらも∞に発散する...
数論 動く数
「動く数」の定義「動く数」という考え方を持っている人がいる。「動く数」の定義を探してみたが、それをきちんと書いている人（サイト）はみつからなかった。「動く数」という用語を使っている記述をみると、ある種の数列を数と考えているようだ。ある種の数...
数論 止まっている矢
バリエーションはいろいろあるだろうが、有名な話。動いていても矢は止まっている飛んでいる矢を写真に収めたら、静止している矢が写っていた。矢は飛んでいる（動いている）と思っていたが、実は止まっていた。止まっている矢が飛べるはずない。矢は飛んでい...
数論 感動的な話、ラクダの分配
なんて賢いんだと思ったラクダの分配の小話１７頭のラクダを持っていた父親がいた。その父親が亡くなり、１７頭のラクダを息子３人で分配することになった。遺言では、長男には\(\frac{1}{2}\)、次男には\(\frac{1}{3}\)、三男...
無限 宇宙(-∞,∞)と小宇宙(-1,1)
宇宙と小宇宙数直線を実数全体とみなすことから、私は、数直線を１次元の宇宙と読んでいます。その部分集合である、開区間（-1，1）も数直線と同相(１対１の関係がある)とみなせるため、これも（１次元の）宇宙です。ただ、数直線と区別するために、小宇...