代数 素数を求める問題[京大2016]理系数学
面白そうだったのでついやってみました。素数の問題（京都大学2016理系数学)素数p,qを用いて\(p^q+q^p\)で表される素数を全てもとめよ。コメント問題の意味は簡単そうですね。しかし、式だけみても、どうしたらよいのかさっぱりわかりませ...
猫野 流星
代数 無限大の比較 無限大の比較
無限大は比較可能か？無限大にもいろいろある。無限大の中にもより大きな無限大、より小さな無限大がある。こういった感覚がわからないではない。しかし、よくよく考えてみると無限大を通常の数のように扱うのは危険であることがわかる。二つの数列\(a_n...
無限 無限大と無限小の意味とゼロの扱い
これまで記載した無限大、無限小の記事についてその主張をまとめておく。普段、無限大について使い分けがなされているのだが、改めて明示的に区別するところなどまとめておく無限大にはふた通りの意味がある。一つは、（１）限りなく続く状態（可能無限）、も...
数論 チリが積もっても山にならない
チリが積もれば山となる。おおよそ、大きさが同じくらいのチリであれば、これは正しい。一番小さいチリの大きさをεとした場合、任意の自然数Nに対して、$$N \lt mε$$となる自然数mが存在する。つまり、山Nがどんなに大きくでも、十分大きな自...
数論 数の拡大、実数の無限性
数の階層として、下記のような拡大列がよく説明される。 自然数 整数（負の数） 有理数（分数） 実数 複素数、四元数、・・・それぞれの数は含む、含まれるの包含関係がある。数が拡大するにつれ、ある種の方程式が解を持つようになる。さて、その拡大の...
数論 ゼロで割る、１/0=∞？
数学でゼロで割ることはご法度です。ところが、小学校で０で割ることを教えてるとか教えてないとか。教育方針に文句をいうつもりではありませんが、ゼロで割る問題があった場合、答えは「無し」が正解だと教えているという話もあるようです。ひょっとしたら、...
無限 開区間(0,1)と閉区間[0,1]と無限＜小＞
前回は、(0,1)の内側からみた1についてであったが、こんどは0の方へ視点を向ける。1の方が無限大であるならば、0は無限小である。無限小も無限大と同じような性質がある。例えば、半分にする操作は永遠い終わらない、0に限りなく近づくが0になるこ...
無限 開区間(0,1)と閉区間[0,1]と無限＜大＞
$$ (0,1) \underset{def}= \left\{ x| 0 \lt x \lt 1 \right\}$$$$ \underset{def}= \left\{ x| 0 \le x \le 1 \right\}$$開区間の代表...
数論 0.999…=1について
\( 0.999 \cdots \)の意味にについて、やはり書いてみたい。\( 0.999 \cdots \)は、私の好きな級数である。もちろん、$$ 0.999 \cdots \underset{\mathrm{def}}{=} \su...
数論 1を引く整数問題
問題\(n \in \mathbb{N}\)の時、\(4^n-1\)は３で割り切れることを示せ。コメントある数から１を引いた問題。１を引いたり足したりすることで、素因数分解の状況ががらりと変わる。２０項まで計算してみると、\( 4^{1} ...