数論 「数直線上の点を実数と対応させても隙間だらけ」が正解
数直線は実数でも埋め尽くされない実数についてよくある誤解の一つが、「数直線は実数で埋め尽くされている」という命題である。たしかに、数直線上に実数を埋め込むことは可能であるが、数直線上を有理数で埋めたところ、間がスカスカであったのと同様に、数...
数論 数論 可能無限と可算濃度の関係
無限集合の濃度と加算集合の濃度無限集合同士を濃度という指標で比較することができるようになって、無限の扱いが飛躍的に発展した。無限という存在を単純に数えきれないものという捉え方では、なにか物足りなさがあるのだ。集合の濃度が発見されてからは、無...
代数 可能無限の代表例を挙げる、数について考えるために。
可能無限に絞る可能無限と実無限について、その両者を対にし対比しながら意味を考えるのが王道である。しかし、ここでは可能無限に限定し、その例を示しながら可能無限とはなにか、その意味を確認する。ここでは数を研究する目的で可能無限について考えている...
代数 末尾の数で素数の確からしさが変わるか
素数っぽい数簡単にちょっと複雑な素数っぽい数を例としてあげたい。５７は実は３で割り切れますが、九九にでてこない数ですので、なんとなく素数っぽくみえることがあります。同様に９１もそれとなく素数っぽい感じです。逆に、9876543210など、１...
代数 48の約数をすべて足した数、掛けた数
48にはたくさんの約数があります。それらの約数をもれなく、すべて求め、求めた約数を全部足した数、全部掛けた数を計算する方法です。48を例に説明していますが、他の数であっても同じようにできます。ここで、単に約数と書いてあるのは正の約数の事を意...
不等式 二次不等式の解がすべての実数になる時、判別式は負
ここでいう2次不等式とは、変数が一つ(ここではその変数をxとする)の２次式からなる不等式の解の集合を求める問題をいいます。例えば、「不等式 x2-2x+3>0 を満たすxの値(範囲)を求めよ。」というような問題です。解にはパターンがあります...
代数 ２進数とは、１進数とは、その例題
２進数(２進法)とは２進数とは、０と１だけをつかって数を表す方法です。０と１だけでどうやって数を表すのでしょうか。わかりやすくいうと、２つの塊があれば、繰り上げるという数え方です。１０進数の場合は、１の位、１０の位、１００の位と桁が増えるご...
代数 素数とは何か。簡単にわかりやすく。
素数とは何か？Wikipedeiaに2通りの素数定義があります。どちらも意味は同じです。素数（そすう、英: prime number）とは定義その１．「正の約数が 1 と自分自身のみで、 1より大きい自然数」定義その２．「正の約数の個数が ...
代数 2次方程式、解の公式の覚え方
解の公式の覚え方最初は、なかなか覚えられない2次方程式の解の公式ですが、これは苦労しても丸暗記するほどの価値があります。いろいろな問題を解きながら覚えるほうが、結果的に忘れにくく、思い出しやすいです。それぞれの人によって、最適な覚え方に差が...
代数 2次方程式の解の公式から判別式と実数解の個数を調べる
２次方程式の解の公式とは２次方程式ax2+bx+c=0 (a ≠ 0)をxについて解くと、\となります。xについて解いたこの式を２次方程式の解の公式のいいます。なお、以下ここでは、2次方程式といえば、ax2+bx+c=0 (a ≠ 0)のこ...