数は、階層構造を持っていることは前にかいた。
すなわち、新しい数は古い数をもって定義できる。
1の裏には0がある。
数の起源
数の起源をたどってみよう。
まずは、一番身近な有理数。
有理数は(有理)整数から定義される。
(有理)整数は自然巣から定義される。
自然数は・・・
数の起源をたどると自然数に帰着される。
自然数を定義する数も考えられなくはない。
実際、クヌース(コンウエイ)の現実数は、空集合から定義していく。
空集合が存在することが1である。
そう、数の起源は1、すなわち存在である。
存在の裏には、空が存在している。
つまり、0の存在があってはじめて1は存在できる。
0は土壌だ、器だ、世界だ。
しかし、実際には0と1だけでは数を作ることができない。
0と1を区別したり、並べたり、組み合わせたりするなどの推進力があってそれらは繁殖できる。
定義するということは、繁殖するということだ。
数学的には推進だ、繁殖だというのは、人それぞれの共通概念としてはかなり漠然とした概念であるからして、採用するわけにはいかない。
それらは、哲学の領域として考えればよいだろう。
したがって、数学では自然数を起点に数を構築していく。
自然数
自然数がなんであるかをできるだけ明確に、しかも単純に提示しておく必要があるだろう。
自然数は、公理として無条件に受け入れられるものだけをつかって定義つけする必要がある。
よく知れ渡っている自然数の公理は、ペアノによるものだ。
実によく考えられている。
細かな点では他にもいろいろな公理から自然数を定義することができるであろう。
しかし、自然数を自然に使いこなしている我々にとっては、一番馴染みの原始的な数が自然数であるからにして、自然数を数の基礎として据え付けする。
もちろん、数があるだけでは新しい数を定義できるわけではない。数を作るためには、論理を組み立てる推進力が必要になってくる。
具体的には、数を定義するためには、集合と写像の概念が必要となるので、当然数学基礎論の知識はフルに活用される。
まとめ
数の起源として自然数を採択する。
数の定義には集合と写像を使う。
数を定義する集合を定義するために数を使う。
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