対角線論法を応用して極限が0の数列を0に収束させない

“対角線論法を応用して極限が0の数列を0に収束させない” への4件のフィードバック

1. 任意の正の実数εに対して、「n>Nならば|a[n]-α|<ε」なる自然数Nが存在するとき「数列{a[n]}の極限はαである」という

   とか

   いくらでも大きい自然数が存在するが「無限」という数は存在しない

   という立場に立つのが実無限を捨てるということでしょうか。

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   1. そうです。
      少なくとも私はそう捉えています。

      訪問ありがとうございます。

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2. ちょっとした疑問ですが、対角線論法により、数列{an}は0（0.000・・）を含まないことは理解できたのですが、何故0に収束しないという結論に至ったのでしょうか？
   （”0にならない”と”0に収束しない”を別の意味で用いていましたら申し訳ございません）

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   1. 訪問にコメントありがとうございます。
      かなり苦しい論法で申し訳ございません。

      ここでは、数列の最後尾の項（というものは実際にはないのですが感覚的にこう書きます）を収束値というイメージで捉えています。
      こんなアバウトな説明が通じないことは百も承知ですが、実際のところ、
      「収束する数列の収束値≒数列の最後尾の項の値」
      と感覚的にとらえる考え方（をする人）があって、
      実際この考え方は厳密に示せないながらも、
      意外にも役にたつ考え方で、そこになんらかの真実が示唆されているるように思えます。

      そして、そのような考え方をなんとか体系化しようと試みている人もいます。

      つまり、数列の第無限項という（架空の項）を作り上げ、その項の値＝収束値と考えるわけです。

      ゼロに収束する数列は、その第ｎ項のｎを無限大にした第無限項が０になっている拡大数列の一つと考え、極限計算を無現項の計算に帰着させようとするのです。

      いわゆる、∞＋∞＝∞、∞×２＝∞
      などいった∞に（中途半端ではありますが）数のような演算を定義し、
      うまく数になじませようとする試みです。

      このような試みはある程度うまくいきそうに見えますが、
      厳格にしようとすればするほど破綻してきます。

      ここでは、対角線論法で、第無現項を生み出そうとしても
      そこがゼロになることはありえないことを示そうとしたわけですが、
      あまり上手い説明とはなっておらず、
      失敗に終わってるとも言えます。

      第無限項を考えるというのは、同時に少数第無限の値を考えることを引き起こすわけですから、
      「０に収束する数列であっても、第無限項を単純に０とみなす事はできないよ」
      ということを主張したかったのです。

      ※今気がついたのですが、タイトルの一部に「ゼロに収束させない」とあるのは、誤解を生じさせる文言でした。
      そこは、第無現項をゼロにできないというニュアンスです。

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