無限 カントールの対角線論法が卑怯だと言われるわけ
カントールの対角線論法同じ無限でも、「実数が自然数よりも多く存在する」ことを実にわかりやすく説明する対角線論法ですが、その論法に疑問を持つ人もたくさんいます。そのことを数当てゲームにたとえて説明していきます。ある数を当てたら勝ち、当てられな...
猫野 流星
無限 代数 可算濃度よりも小さい濃度に挑戦
可算濃度と連続濃度Sを可算濃度ℵ0の無限集合とし、その冪集合を2Sとすると、2Sは連続の濃度ℵ1の無限集合である。これについては、調べれば豊富な説明があり、説明しだすとくどくなるのでここでは詳しく述べない。ここで確認しておきたい要点は、「可...
無限 どこまでも続く対角線論法を見直す
実数の濃度が可算でないことを示す対角線論法の流れ実数を無限小数表示で表すこととし、その無限小数を縦に無限い並べます。並べたそれぞれの無限小数を対角線上になぞり、対角線上の桁の数をしらべ、その桁の数と違った数を持つ無限小数を作ります。カントー...
無限 対角線論法を応用して極限が0の数列を0に収束させない
0に収束する数列に対角線論法を使うわかりやすく２進数で書いた下記の数列{an}を考えます。111...の部分は、1が永遠に続くことを意味した記号です。a1=0.111...a2=0.0111...a3=0.00111...a4=0.0001...
無限 実無限の説明で無限小数の0.999…は不適当
0.999…よく、無限小数の例として0.999…が使われます。これは、0.999…＝１となる等式の説明ででてくる実数の例なわけです。0.999…＝１の式の意味を考えるときに、「実数とは」の話になって、0.999…を使って実数の説明が始まる。...
数論 可能無限と実無限の自然数モデル
可能無限と実無限を表した図このサイト管理者が考えている可能無限（仮無限、潜在的無限）と実無限の意味を図で説明することにしました。自然数を例にして、可能無限と実無限を図(下の方に掲載)を使って解説します。可能無限と実無限の図を使った説明１．ま...
数論 全ての素数の積が偶数になる件から無限大の作り方を考える
全ての素数の積全ての素数の積は偶数であるというのはどういうことか？2で割り切れるということである。全ての素数の積は、２が掛けられているので２で割り切れる。２と全ての奇素数を掛けたら全ての素数の積となる。すべての素数の積は無限大である。その無...
無限 実無限でも可能無限でもない不可能無限とは
すべて有限で考えることは「不可能無限」「可能無限で考える」＝「すべて有限で考える」これはあっているようで、違っています。可能無限は何事も有限で収まる、そういうことではありません。いつまでも続けられる、終わりがない、これが可能無限の範囲です。...
無限 実無限は矛盾の温床
無限について考えると、なにかと不思議な現象に出くわします。それが、真理なのか、矛盾なのか、真理だとしたら、なぜ不思議に思えるのか、矛盾だとしたら、なにが原因なのか、可能無限は人間が認識しうる唯一の無限です。そう思えてなりません。実無限を認識...
数論 「数直線上の点を実数と対応させても隙間だらけ」が正解
数直線は実数でも埋め尽くされない実数についてよくある誤解の一つが、「数直線は実数で埋め尽くされている」という命題である。たしかに、数直線上に実数を埋め込むことは可能であるが、数直線上を有理数で埋めたところ、間がスカスカであったのと同様に、数...