三次体 3次方程式の解の公式は役立たず
3次方程式には、３次方程式解の公式が存在します。ところが、この解の公式は期待はずれなほど使い物になりません。2次方程式の解の公式は、めちゃめちゃ便利に使えたのに、なぜ３次になると役に立たなくなるのでしょうか。解の公式は、実数解を求める時でも...
代数
三次体 三次体 ３次方程式より４次方程式を解く方が簡単なのか？
解の公式を考えていると、３次方程式より４次のほうが簡単かもと思うことがあります。結論をいうと、一般的に４次方程式のほうがはるかに３次方程式より複雑で解くのは難しいです。しかし、ふと思うわけです。４＝２×２つまり、４次方程式は、２次と２次に分...
数論 受験数学に出てくる数として西暦年数とその素因数をチェック
数学に関して言うと、入試問題にでてくる数値は２桁以内が圧倒的に多いです。例外は、近似計算の時です。例えば円周率、ネイピア数、自然対数などの有効桁数は３桁以上もよくあります。しかし、特に整数問題である場合は、1桁や2桁からなる合成数です。西暦...
数論 a+b+c=9の自然数解の個数を組合せ論で求める
\(\displaystyle a+b+c=9\)を満たす自然数\(\displaystyle a,b,c\)を全て求めよ。これは、自然数9を複数の自然数の和に分割する方法をすべて求める問題です。自然数の分割問題素因数分解は自然数を積の形に...
代数 複素数を使った多項式の因数分解
因数分解の公式はよく教科書にわかりやすく載っていますが、複素数をつかった因数分解の公式はあまり載っていません。最も簡単な例は、\(\displaystyle a^2+b^2\)の因数分解です。３乗多項式の展開と因数分解公式複素数の因数分解を...
代数 ゼロで割ることができない事には理由がある
数学では、ゼロで割ることが禁止されています。そんなこと、学校で習った覚えがないかもしれないかもしれません。中学校ぐらいで習うはずですが、あまり重要視されてないのか、本格的にゼロ割禁止が表にでてくるのは高校ぐらいからです。小中学の計算問題で分...
代数 複素数の計算に関する公式まとめ
複素数は、二つの実数\(a,b\)を使って\(a+bi\)の形で表すことができます。ここで、\(i\)は虚数単位で２乗すると-1になる数（の中の一つ）です。つまり、\(\displaystyle i^2=-1\)ここで\(a\)の部分をその...
代数 ルートの中を正にする理由
「ルートの中は正(またはゼロ)でなければならない。」とよく言われます。しかし、複素数（虚数）の計算ではルートの中が負になることがあります。どういうことでしょうか？ルートの中は負の数でもよいのではないでしょうか？かならず、正にしなくてはならな...
代数 指数が絡んだルート計算の公式
根号記号(ルート記号)を含んだ指数計算に関する公式集です。特に断りがない限り、\(a,b\)は正の実数です。中にはa,bが0の場合や負の数でも成立する公式もありますが、それは特別な場合であって例外的に処理する場合が多いため、ここではスッキリ...
代数 回転行列の代わりにもなる複素数
任意の複素数zは、長さrと偏角tで下記のように表すことができます。\(\displaystyle z=r(\cos t +i \sin t)\)二つの複素数を掛け算すると、長さは長さ通しの積、偏角は和で表される複素数になります。特に長さ1の...