数論 稠密な有理数を完備化した実数をさらに完備化したらどうなるか
簡単にいうと稠密（ちゅうみつ）とは、たくさん集まっているということで、一番わかりやすい例が「有理数(全体の集合)です。連続は稠密よりもさらにたくさん集まっているというこおとで、一番わかりやすい例が実数(全体の集合)です。実数も稠密ですが、有...
代数
数論 数論 正数と整数がややこしい、無限小と負の無限大がややこしい
正の数、負の数使い慣れてしまってるので特に気にしていませんが、時々「正数」と「整数」の誤変換をしてしまうときに、なぜ、プラスを正の数、マイナスをが負の数と呼ぶのだろうと疑問い思います。語源はよくわかりませんが、正負の使い分けは、中国での発想...
数論 本当に素数の出現率はベンフォードの法則に従うのか？
こんな論文「素数の分布はベンフォードの法則に従っている」がありました。これがどんな意味を持っているのか？その意味がどうにも腑におちなくて、自分でも検証してみました。素数はいろんな意味でランダムに出現していると言われていますが、先頭の数がどの...
代数 １０進数以外の数値表現でベンフォードの法則はどうなるか
n進数でベンフォードの法則を計算する１０進数の場合よく知られたベンフォードの法則による確率です。１０進数で表された数の先頭数の出現率を下記の表に示します。 数字の先頭出現率 1 30.10% 2 17.61% 3 12.49% 4 9.69...
代数 「数字の法則ベンフォードはなぜ？」を直感で理解する！
ベンフォードの法則とはベンフォードの法則(Benford's law)は、よく考えると、当然なのですが、意外に知られていないと思います。どんな法則なのか簡単に示しますと、自然界で使われている数の先頭は「１」が多く(約３割)使われているという...
代数 可算濃度よりも小さい濃度に挑戦
可算濃度と連続濃度Sを可算濃度ℵ0の無限集合とし、その冪集合を2Sとすると、2Sは連続の濃度ℵ1の無限集合である。これについては、調べれば豊富な説明があり、説明しだすとくどくなるのでここでは詳しく述べない。ここで確認しておきたい要点は、「可...
数論 可能無限と実無限の自然数モデル
可能無限と実無限を表した図このサイト管理者が考えている可能無限（仮無限、潜在的無限）と実無限の意味を図で説明することにしました。自然数を例にして、可能無限と実無限を図(下の方に掲載)を使って解説します。可能無限と実無限の図を使った説明１．ま...
数論 全ての素数の積が偶数になる件から無限大の作り方を考える
全ての素数の積全ての素数の積は偶数であるというのはどういうことか？2で割り切れるということである。全ての素数の積は、２が掛けられているので２で割り切れる。２と全ての奇素数を掛けたら全ての素数の積となる。すべての素数の積は無限大である。その無...
数論 「数直線上の点を実数と対応させても隙間だらけ」が正解
数直線は実数でも埋め尽くされない実数についてよくある誤解の一つが、「数直線は実数で埋め尽くされている」という命題である。たしかに、数直線上に実数を埋め込むことは可能であるが、数直線上を有理数で埋めたところ、間がスカスカであったのと同様に、数...
数論 可能無限と可算濃度の関係
無限集合の濃度と加算集合の濃度無限集合同士を濃度という指標で比較することができるようになって、無限の扱いが飛躍的に発展した。無限という存在を単純に数えきれないものという捉え方では、なにか物足りなさがあるのだ。集合の濃度が発見されてからは、無...