無限 宇宙(-∞,∞)と小宇宙(-1,1)
宇宙と小宇宙数直線を実数全体とみなすことから、私は、数直線を１次元の宇宙と読んでいます。その部分集合である、開区間（-1，1）も数直線と同相(１対１の関係がある)とみなせるため、これも（１次元の）宇宙です。ただ、数直線と区別するために、小宇...
解析
無限 無限大の比較 無限大の比較
無限大は比較可能か？無限大にもいろいろある。無限大の中にもより大きな無限大、より小さな無限大がある。こういった感覚がわからないではない。しかし、よくよく考えてみると無限大を通常の数のように扱うのは危険であることがわかる。二つの数列\(a_n...
無限 無限大と無限小の意味とゼロの扱い
これまで記載した無限大、無限小の記事についてその主張をまとめておく。普段、無限大について使い分けがなされているのだが、改めて明示的に区別するところなどまとめておく無限大にはふた通りの意味がある。一つは、（１）限りなく続く状態（可能無限）、も...
数論 数の拡大、実数の無限性
数の階層として、下記のような拡大列がよく説明される。 自然数 整数（負の数） 有理数（分数） 実数 複素数、四元数、・・・それぞれの数は含む、含まれるの包含関係がある。数が拡大するにつれ、ある種の方程式が解を持つようになる。さて、その拡大の...
無限 開区間(0,1)と閉区間[0,1]と無限＜小＞
前回は、(0,1)の内側からみた1についてであったが、こんどは0の方へ視点を向ける。1の方が無限大であるならば、0は無限小である。無限小も無限大と同じような性質がある。例えば、半分にする操作は永遠い終わらない、0に限りなく近づくが0になるこ...
無限 開区間(0,1)と閉区間[0,1]と無限＜大＞
$$ (0,1) \underset{def}= \left\{ x| 0 \lt x \lt 1 \right\}$$$$ \underset{def}= \left\{ x| 0 \le x \le 1 \right\}$$開区間の代表...
数論 0.999…=1について
\( 0.999 \cdots \)の意味にについて、やはり書いてみたい。\( 0.999 \cdots \)は、私の好きな級数である。もちろん、$$ 0.999 \cdots \underset{\mathrm{def}}{=} \su...
無限 可能無限、実無限
無限にはいろいろと種類がある（と考えた方が自然だ）。視点の違いから、可能無限と実無限とで区分けするとなにかと話しやすい。両者はともに見えない概念であって、違いを説明するのはなかなか難しいが、わかりやすく説明しているサイト（例えば）があるので...
無限 x→0とx→∞における極限の意味の違い
解析でよく極限値を求めることがあるが、極限を求めるときに実は２種類ある。それは、$$ \lim_{x→0} f(x) と \lim_{x→∞}f(x) $$いつもは、両者とも極限を表す式である。\(y=1/x\)とおいて、\(+0\)の記...
無限 記号∞（無限大）
無限大の記号∞は便利なのでこれまでも使ってきた。解析学でもよく使われる。例えば$$\lim_{n→∞} \frac{1}{2^n}$$のように。これがあたかもnが∞という数になった場合の結果であるかのように思えてならないが、ここでいう∞は代...