代数 素数が無限にあることの新証明
素数は無限にあることは周知の事実であり、その証明も数多くある。私が青二才の時のこの証明は証明とはいえないものだった。その証明とは・・・「数が無限にあるから素数も無限にある」（略証：数が無限にあるから、いくらでも素数の候補があって、時間はかか...
無限
代数 無限 ゼロでないけどゼロ
ゼロでないけどゼロに限りなく近い数解析で、「ゼロでないけどゼロに限りなく近い数」こんな数があると便利そうですよね。作ってみました。確率です。の実数から、適当なところで数を選びます。その選んだ数が有理数である確率を求めよ。こんな問題があったら...
数論 点を集めたら線になるか、線上で隣の点は存在するか
点とは長さゼロの線のことかここで、長さとは、線(曲線)とは、点とはについて、定義がはっきり示されていないが点に長さがあるとすれば、ゼロでなければならない。線は点が集まってできているのか点が集まっても線にはならない。なるとは限らない。有限個の...
数論 チリが積もっても山にならない
チリが積もれば山となる。おおよそ、大きさが同じくらいのチリであれば、これは正しい。一番小さいチリの大きさをεとした場合、任意の自然数Nに対して、$$N \lt mε$$となる自然数mが存在する。つまり、山Nがどんなに大きくでも、十分大きな自...
数論 ゼロで割る、１/0=∞？
数学でゼロで割ることはご法度です。ところが、小学校で０で割ることを教えてるとか教えてないとか。教育方針に文句をいうつもりではありませんが、ゼロで割る問題があった場合、答えは「無し」が正解だと教えているという話もあるようです。ひょっとしたら、...
数論 0.999…=1について
\( 0.999 \cdots \)の意味にについて、やはり書いてみたい。\( 0.999 \cdots \)は、私の好きな級数である。もちろん、$$ 0.999 \cdots \underset{\mathrm{def}}{=} \su...
無限 可能無限、実無限
無限にはいろいろと種類がある（と考えた方が自然だ）。視点の違いから、可能無限と実無限とで区分けするとなにかと話しやすい。両者はともに見えない概念であって、違いを説明するのはなかなか難しいが、わかりやすく説明しているサイト（例えば）があるので...
無限 x→0とx→∞における極限の意味の違い
解析でよく極限値を求めることがあるが、極限を求めるときに実は２種類ある。それは、$$ \lim_{x→0} f(x) と \lim_{x→∞}f(x) $$いつもは、両者とも極限を表す式である。\(y=1/x\)とおいて、\(+0\)の記...
無限 記号∞（無限大）
無限大の記号∞は便利なのでこれまでも使ってきた。解析学でもよく使われる。例えば$$\lim_{n→∞} \frac{1}{2^n}$$のように。これがあたかもnが∞という数になった場合の結果であるかのように思えてならないが、ここでいう∞は代...
無限 アキレスと亀
パラドックスの例としてよくでてくる、アキレスと亀の寓話。私が、無限について最初に考えるきっかけとなった話だ。無限の話をするときには、かかせない。それは有名なゼノンのパラドックスゼノンのパラドックスとして紹介されるが、よくよく考えると、パラド...