ゼノンのパラドックスとして、アキレスと亀の話が有名で、よく知られています。
足の早いアキレスが、足の鈍い亀を少し後ろから追いかけるのですが、どういうわけか、いつまでたってもアキレスは亀を追い越せないというパラドックスです。
最初、この寓話のどこがパラドックスなのか、一体なにをいいたいのかよくわからず、なぜアキレスが亀に追いつかないと結論しているのか、それを理解する部分で苦しみます。
そして、よくよく考えていくうちに、追いつかない理由がどこにあるのか、さらにそこで頭を悩まします。
分かる人は、数学にしなくても、寓話のままでわかるとは思いますが、
数学が得意な人向け用にそのからくりを簡単に説明します。
アキレスと亀の話を変形して簡単にする
本来のアキレスと亀の話は時間や速度を考える事になるので、ややこしいです。
ですから、ちょっと話を変え距離を使ったバージョンにアキレスと亀の話を変形します。
距離で考えると、話のからくりがわかりやすくなるからです。
まず、100メートルの数直線を考え、亀は100メートル先にいるとします。
そして、ここがわかりやすくする肝でもあるのですが、
亀の走る(動く)速度は０とします。
実は、亀が動いていなくてもアキレスは亀を追い越すことができません。
「亀の動く速度が０なのに、アキレスは亀に追いつかない」、これは変ですよね。
でも、アキレスは亀を追い越すどころか、追いつくことすらできません。
明らかに変だとわかる条件（亀の速度＝０）をつけておくことで、話のからくりを見破りやすくなります。
アキレスが亀に追いつくまでのステップを数える
それでは、さっそくアキレスと亀の動きをシミュレーションします。
まず、アキレスは100メートル先の亀をめがけて走ります。
100メートル地点に到達するために、50メートル地点まで走る必要があります。
当たり前ですが、50メートル地点まで走ったとしても、まだ亀を追い越すことはできていません。
ですから、アキレスは、走り続けます。
亀を追い越すためには、75メートル地点まで走る必要があります。
75メートル地点に到達したとします。
もちろん、亀は追い越せていません。
亀は止まっているのですが、まだ亀はアキレスより25メートル前にいます。
アキレスは亀を追い越すため、100メートルより手前である80メートルの地点まで走る必要があります。
そこで、アキレスは走ります。
しかし、80メートル地点まで来たとしても、
亀を追い越すためには、90メートル地点まで走る必要があります。
90メートル地点に到達したとしても、まだ亀には追いつきません。
追いつくためには、95メートル地点に到達する必要があります。
・・・・
走り続けます。
このような行動を永遠に繰り返すことが可能であることを次に示します。
考えやすいように数学的にモデル化する
ここからは、数学です。
これまでの現象を数学的にモデル化して考えるのです。
これまで、アキレスの到着地点として、50の地点、75の地点、80の地点、90の地点、95の地点を考えてきました。
モデルでは、メートルという距離の単位はあまり重要なことではないので、省きました。
到着地点は、50,75,80,90,95と数で表すことができます。
９５と１００の間になんらかの数があります。
たとえば、９８があります。
ということは、亀に追いつくためには、９８メートル地点に到達する必要があるということです。
98という数に、「アキレスが98メート地点に到着する現象」を対応つけます。
９８と１００の間にも数があります。
例えば、99。
99という数には、「アキレスは99メートル地点に到達する現象」を対応つけます。
９９と１００の間にも数があります。
これまでは、整数を代表的に取り扱ってきましたが、数が整数である必要はありません。
99.5のように小数であっても、到着地点と対応つけることができます。
・・・
99.5と１００の間にも数(小数)があります。
これで、わかると思います。
１００までの間には無限の数があります。
しかも、小数を使えば、１００未満の数はいくらでもあります。
ということは、アキレスが到達しなければならない地点をいくらでも作ることが可能だということです。
つまり、アキレスは、１００まで到達するために、無限個の地点に到達し、通過する必要があるのです。
例えば、
99.75の地点
99.875の地点、
99.9の地点
・・・
99.999の地点
99.9999の地点
99.99999の地点
・・・まだまだ続けられます。
いくらでも続けられます。
100未満の数は無限個あるので、到達しなければならない地点も無限個です。
無限個の地点をすべて通過することは、無限回数走らなければならない。
無限の回数はいつまでたったも終わらない、したがってこのような走り方をしている限り、100に到着することはありえない。これがからくりです。
100に到達するまでは、アキレスは亀を追い越すことができないのですが、100に到達するためには無限個の到達地点を通過しなければなりません。
無限個の到達地点を一つ一つクリアすることは、終わりがない行為なのです。
これは、１００までの間に無限に数があることを利用して作り出されています。
時間で考えると、亀がバックしても追いつかない
すこし応用すれば、時間でも同じように考えることはできます。
時間というのは、距離と同様、無限に分割できるからです。
亀の動く速度は関係ありません。
ぶっちゃけ、亀がバックしてもアキレスは亀に追いつきません。
例え、亀がバックしたとしても、アキレスが亀に追いつくまでには多少なりとも時間がかかります。
その時間を10秒だったとします。
ここで距離で考えたように、数学モデルで考えます。
0秒から10秒の間は無限の個数に分割できます。
簡単な例にすると、
5秒後
9.8秒後
9.85秒後
9.885秒後
9.8885秒後
9.999秒後
9.9999秒後
9.99999秒後
…
最後のほうは、9の羅列にしましたが、別に9を使う必要はありません。
10未満の数であればなんでもよいです。
つまり10秒に到達するまでには、8秒、9秒、9.9秒、9.99秒と無限個の途中時間を経由する必要があります。
アキレスが10秒後の亀に追いつくまでには、
8秒後、9秒後、9.9秒後、9.99秒後、…、と無限個の途中時間を経過しなければ10秒に到達しません。
だから、アキレスは亀に追いつきません。
アキレスが亀に追いつくか追いつかないかは、正しくもあり誤りでもあります。
それは、経過する時間によって、
- (1) 10秒まではアキレスは亀に追いつきません。
- (2) 10秒後にアキレスは亀に追いつきます。
- (3) 10秒より後、アキレスは亀を追い越します。
と追いついている状態とそうでない状態にわかれるからです。
上記(1)(2)(3)は、どれも正しいわけで、10秒までに限定した話にすれば追いつきませんし、10秒後も考えるのであれば追いつきます。
オリジナルのアキレスと亀のパラドックスは、回りくどい設定により、(1)だけについて言及しているので、いつまでたってもアキレスは亀に追いつきません。
直接的ではないにせよ、時間の制限が１０秒以内に限定された状態の中の事しか言及していないのです。
本当にアキレスは亀に追いつかないのか？
ズバリ！
アキレスは亀に追いつきます。
はい。
１００メートルなら数秒でしょう。
しかし、寓話では、追いつくまでのステップを無限の個数に分割することで、亀に追いつかない状態を作り上げているのです。
[ad#foot]
まとめ
繰り返してくどいかもしてませんが、まとめとしてまた書き直します。
アキレスが亀に追いつかないのは、
追いつくまでには無限のステップを経ている、
無限のステップはいつまでたっても終わらない、
したがって追いつかない、
このような理屈となっています。
しかし、無限のステップを一つずつこなしていては終わりがありませんが、アキレスはこの無限にあるステップを軽々と終えてしまいます。
ですから、亀を追い越す事は可能です。
これは矛盾ではありません。
現に、アキレスは５０メートル地点まで到達できたではありませんか。
５０メートルまでの間にも無限の数があります。
それらが通過できたということは、１００メートルまでにある無限の地点も通過できるのです。
その説明のために、距離を無限に分割しました。
つまり、１００メートルを無限の個数の直線(線分)に分割したのです。
１００メートルに到達するためには、無限に分割された直線（地点を）をすべてを通過しなければならない。
しかし、無限にある通過点を一つ一つ数えきることはできない。
よって、無限の通過点は通過できない。
同じことですが、時間によっても、追いつくまでのステップを無限に分割することができます。
無限の個数に分割された時間であっても、それら分割された時間を積み上げたところで、最初の分割前の時間を超えることはできません。
計算でも実証できます。亀が動いてなければ計算も楽ちんですね。
この原理を使うと、無限に分割できるものがあれば、アキレスと亀と類似のパラドックスの話をいくらでも作ることができます。
数学的考察
さて、数学的には当たり前でついつい見逃してしまう観点があります。
それは、無限個の数を足すということです。
無限とはいくらでもというふうに捉えることができるので、「微小なものでもたくさん集まれば、いつかは巨大なものになるはず」といえるかどうかです。
例えば、1ミクロンというかなり短い線であっても、多数集まれば1cm,1mとなりえますし、無限個集めることが許されるのであれば、100kmであっても作ることは可能です。
同じ長さのものであれば、無限個集めると、いくらでも大きくできます。
しかし、長さが異なるものの場合は、無限個あつめても、ある限界以上にならないことがあるのです。
ちりが積もっても山にならない事があるのです。
例えば、0.1, 0.01, 0.001, 0.0001, …と長さが10分の1に減っていく長さをいくら集めても、0.2を超えることはありません。
そうはいっても、例えば、1/2,1/3,1/4,…と逆数の和を考えると、これはだんだん小さくなる数の和となっていますが、たくさん集めれば無限に大きい数を作ることができます。
減少する割合によって、総和が有限であったり、無限に大きくなったりするのです。
それでは、その境界がどこにあるのか？
それは非常に興味深い問題となっています。
[ad#foot]
