0.999…
よく、無限小数の例として0.999…が使われます。
これは、0.999…＝１となる等式の説明ででてくる実数の例なわけです。
0.999…＝１の式の意味を考えるときに、「実数とは」の話になって、0.999…を使って実数の説明が始まる。
よくよく考えてみると、これは有理数1におけるデデキントカットに相当します。
1でのデデキントカットを考えると、
１は有理数であるので、(-∞,1)と[1,∞)といった有理数での切断が考えられます。
実数の定義をデデキントカットにおまかせすると、この切断はある実数を表していることとになります。
いうまでもなく、このデデキントカットが表す実数は有理数1です。有理数で切断しているからあたりまえです。
無限小数で表す実数の例として、0.999…を使うのであれば、これはあまり良い例とはいえませんね。
0.999…は、デデキントカットで新たに算出された実数ではないわけですから。
0.999…は無理数でもないので、有理数です。有理数は実数の中でも特別な扱いを受けます。
実数の例としては、やはり無理数を使うほうがより一般的でベターなところでしょう。
一般の実数の例をしてから、0.999…＝１の意味を考えるべきで、0.999…から実数の本質を考え0.999…＝１の結論に到達する方法は、実のところ、実数とはなにかの問題を避けて検証しているのと同じといえます。
まとめ
実数の例として0.999…を使うのはあまり良い例とはいえない。なぜなら、0.999…は有理数であるから。
実数の例を無限小数で挙げるのなら、1.414…=√２だとか、円周率3.1415…=πを使ったほうが、実数らしさがよく現れてベター。
[ad#foot]
コメント
0.999…
コレ自体が理論崩壊してますね
一方方向にだけ無限大というのは、それは無限大ではありません。
理論上ありえないんです。片方に限りがあればもう片方にも限りが出来るんです
無限大というのは始まりがありませんので0.から始まるということ自体がありえません。これは無限大の意味を理解してないものと思えます。
すなわち片側に行き止まりのある「0.999…」そのものがありえないんです。
始まりがあれば終わりがあるのが正しい理論ですから無限にはなりません。
貴重なコメントありがとうございます。
私の理解の仕方が間違っていたらすみません。
おそらく、0.999…と1の両者を考え、
「0.999…を片方の無限大とし、もう片方の１に限りがある」という
ことが理論上ありえないという指摘なのだと思います。
ここで、片方の0.999…が無限大というのは、９が無限に続くという意味なのだと思います。
それとも、0.999…はきっとどこか見知らぬ果てかもしれませんが、
アル種の極限の意味では限りがあるという状態として
考えることができるという事でしょうか？
そこら辺はわかりませんが、いろいろ考えてみました。
私も、とどのつまりはよくわかりません。
「0.から始まるということ自体がありえません」という部分は
よくわからなかったのですが、
同じものを、片方が無限で片方に限りがあるというのは
おかしいかもしれません。
ただ、次の例を考えてみます。
0.888…と8が無限に続く小数は、
一般に8/9に等しくなると考えられています。
この8/9を限りがあるとみるかどうかですが、
二つの有限の整数8と9で表すことができるという意味では
限りがある数とみなせると考えます。
この場合では、片方(0.888…)は無限大で片方(8/9)は限りがあると
考えられないでしょうか。
－－－
「無限大というのは始まりがありません」という部分についてですが、
これは、なにかをインスパイヤーさせます。
面白い表現だと思います。
無限大より小さい無限大は限りなくあるというか、
「無限大に最小値はない」という感覚でしょうか。
奥深いです。