無限 無限パラトックスの原因
無限がからんだパラドックスには、ある共通点がある。パラドックスの本質ともいえる共通点でさるが、パラドックスがパラドックスと呼ばれてきただけあって、それをズバリ説明することはなかなか難しい。難しい概念や用語を使って説明したところで、その概念や...
集合論
無限 無限 宇宙(-∞,∞)と小宇宙(-1,1)
宇宙と小宇宙数直線を実数全体とみなすことから、私は、数直線を１次元の宇宙と読んでいます。その部分集合である、開区間（-1，1）も数直線と同相(１対１の関係がある)とみなせるため、これも（１次元の）宇宙です。ただ、数直線と区別するために、小宇...
数論 数の拡大、実数の無限性
数の階層として、下記のような拡大列がよく説明される。 自然数 整数（負の数） 有理数（分数） 実数 複素数、四元数、・・・それぞれの数は含む、含まれるの包含関係がある。数が拡大するにつれ、ある種の方程式が解を持つようになる。さて、その拡大の...
集合論 ヒルベルトホテル（無限ホテルふたたび考察）
無限ホテル（ヒルベルトホテル）ふたたび、無限ホテル(ヒルベルトホテルと呼ぶのが専門的のようだ)の登場である。可能無限、実無限の概念をつかって、再度無限ホテルについて考えてみる。無限ホテルは、満室であっても新しい来客が来たら宿泊可能であった。...
無限 可能無限、実無限
無限にはいろいろと種類がある（と考えた方が自然だ）。視点の違いから、可能無限と実無限とで区分けするとなにかと話しやすい。両者はともに見えない概念であって、違いを説明するのはなかなか難しいが、わかりやすく説明しているサイト（例えば）があるので...
集合論 基数と連続体仮説
無限の大きさは濃度という尺度で測定できる。無限集合の大きさが一つでないことがわかっている。つまり、一言で「数え切れない」と言っても、その意味は一つではないということだ。それでは、無限の大きさはどれくらいの種類があるのだろうか。これがまた数え...
無限 無限ホテル
無限について、その性質を表している有名な話が無限ホテルの話である。部屋が無限にあるとどうなるか。そんなホテルは現実にはありえないが、数を考える上ではいたるところに無限ホテルが存在しているのである。例えば、実数を小数表示で表したとしよう。実数...
数論 超現実数（コンウェイ先生、クヌース先生）
超実数とならんでよく紹介されるのが、ドナルド・E. クヌース先生のかかれた小説にでてくる超現実数である。超実数を考察する上で、無視することができない、というか、研究の題材として具体的で認知度も高い数なので、これを使わない手はない。いわゆる無...
数論 数の演算
数は演算ができる。これも数の特徴としてあげておこう。数える、倍にする、分割する、これらもある種の演算として考えることができるが、単に一つの数から別の数を作り出す操作として捉えていた。この操作は、あるときは、関数として定義され、あるときは、特...
数論 数とはなにか
数はなにができるか数は数えることができる。数は測ることができる。数えることができる数は離散的と呼ばれる。測ることができる数は連続的と呼ばれる。数が持っている性質を列挙しよう。そして、その性質をもっている「なにか」を探そう。その「なにか」は、...