代数 ある式の値が素数かどうか調べる問題
一般的に、与えられた数が素数かそうでないかを判定するのは難しい問題です。ここでは、ある式の値が素数に関係する問題について考えます。入試問題にでる素数判定素数判定が難しいことは何度も書いていますが、それでも、入試問題に「素数であることを示せ」...
数学問題
代数 代数 a+b+c=abcの自然数だけでなく整数解を求める
a+b+c=abcの整数解整数解を求める問題だが、割と有名なので、解き方を知らなくても解は知られている。a=1,b=2,c=3である。解が連続した数で並んでいるので、数のバランスの良さを感じる。有名な問題であるのだが、出題されるときはほとん...
代数 京都大学理系数学2007年前期甲乙第3問(整数問題)
京都大学理系数学2007年前期甲乙第3問整数問題です。この問題の場合はたまたまなんでしょうが、ここでも出てきますね、奇素数。問題pを3以上の素数とする。4個の整数a，b，c，dが次の3条件\(a+b+c+d=0,ad-bc+p=0,a≧b≧...
不等式 数学問題2011年静岡大第2(奇素数の問題）
静岡大学 2011年 第2問問題（１）pを2と異なる素数とする。\(m^2=n^2+p^2\)を満たす自然数の組\(m,n\)がただ一つ存在することを証明せよ。（２）\(m^2=n^2+12^2\)を満たす自然数の組\(m,n\)を全てもと...
代数 2014年JJMO予選6番（整数問題）
中学生の知識で解ける整数問題2014年日本ジュニア数学オリンピック予選第6問問題\(n+16,16n+1\)がともに平方数となる正の整数\(ｎ\)を全て求めよ。失敗解答\(n\)に適当に代入して規則を発見する。適当に代入しても、一つも解を得...
代数 京大2006理系前期４（整数問題）
素数かどうかの判定に関する問題です。問題２以上の自然数nに対し、\(nとn^2+2\)がともに素数になるのは、\(n=3\)の場合に限ることを示せ。２０１６年京大の問題と類似しています与えられた式の値が素数かどうかを判定するのは一般的に難し...
代数 灘中2017年第6問を力技で解く(整数問題)
問題３桁の整数ABCを\(\frac{3}{4}\)倍すると３桁の整数BCAになり、さらにBCAを\(\frac{3}{4}\)倍すると３桁の整数CABになります。このような３桁の整数ABCは全部で２つであり、 と です。コメントパズル...
代数 東大2010年文系第4問（微分積分恒等式）
問題ある2次関数 \(f(x) = x^2 + ax + b\) について、次のような式が成り立つとします。\[f(x+1) = c \int_0^1 (3x^2 + 4xt)f'(t)\,dt\]この式が、どんな \(x\) に対してもい...
代数 東大2016年文系第4問（整数問題）
東大の問題から問題の内容をかみくだくと、次の数列\(x_{10}\)の１の位の数を求めよという問題になります。\(x_1=1\)\(x_2=3^{x_1}=3\)\(x_3=3^{x_2}=3^3=27\)\(x_4=3^{x_3}=3^{...
数学問題 2017年日本数学オリンピック予選問題3
第27回(2017年)JMO予選の問題3黒い部分の面積と白い部分の面積の差を求めよ、こんな問題です。問題自体は簡単ですが、数値が３桁なので、暗算が得意でなければやる気が失せますね。私は、失せました。分配の法則\((a+b+c)(d+e+f)...