数論 約数の総和を求める関数は乗法的である
約数関数約数関数とは、約数の総和を返す関数のことです。定義をきちんと書くと、下記のようになります。自然数nに対し、そのnの約数全ての総和を返す関数を約数関数と呼び、σ(n)で表す。例えば、σ(1)=1σ(2)=1+2=3σ(3)=1+3=4...
代数
数論 数論 メルセンヌ素数
メルセンヌ素数と完全数の定義自然数nに対して\(M_n=2^n-1\)の形で表される素数をメルセンヌ素数と呼ぶ。自然数nに対してnのnより小さい約数の和がnであるとき、nを完全数よ呼ぶ。完全数の例：6, 28, 496, 8128 など問題...
代数 素数が無限にあることの新証明
素数は無限にあることは周知の事実であり、その証明も数多くある。私が青二才の時のこの証明は証明とはいえないものだった。その証明とは・・・「数が無限にあるから素数も無限にある」（略証：数が無限にあるから、いくらでも素数の候補があって、時間はかか...
代数 ある式の値が素数かどうか調べる問題
一般的に、与えられた数が素数かそうでないかを判定するのは難しい問題です。ここでは、ある式の値が素数に関係する問題について考えます。入試問題にでる素数判定素数判定が難しいことは何度も書いていますが、それでも、入試問題に「素数であることを示せ」...
代数 a+b+c=abcの自然数だけでなく整数解を求める
a+b+c=abcの整数解整数解を求める問題だが、割と有名なので、解き方を知らなくても解は知られている。a=1,b=2,c=3である。解が連続した数で並んでいるので、数のバランスの良さを感じる。有名な問題であるのだが、出題されるときはほとん...
数論 単位分数の和1/a+1/b+1/c=1となる自然数
自然数解を求める問題整数を単位分数で表す問題。整数問題を学ぶ時に一度は解くことのある練習問題です。これは、整数問題を解く時の基本的な解き方の代表例です。有名問題です。解が特徴的なので、印象に残りやすいです。問題a,b,cを自然数とするとき、...
代数 京都大学理系数学2007年前期甲乙第3問(整数問題)
京都大学理系数学2007年前期甲乙第3問整数問題です。この問題の場合はたまたまなんでしょうが、ここでも出てきますね、奇素数。問題pを3以上の素数とする。4個の整数a，b，c，dが次の3条件\(a+b+c+d=0,ad-bc+p=0,a≧b≧...
代数 円の方程式から求めたピタゴラス数の問題点
ピタゴラス数(一般解)を円の方程式から求めるで円の方程式と直線の方程式の交点からピタゴラス数を求めた。多少の記述不足はあるが、有理数解も間違いなく全て求められている。しかし、正しい答えが導かれているにもかかわらず、実は、このやりかたには論理...
代数 ピタゴラス数(一般解)を円の方程式から求める
ピタゴラス数とは三平方の定理（ピタゴラスの定理）にでてくるあの式です。自然数の組の場合、ピタゴラス数と呼ばれます。三平方の定理(ピタゴラスの定理)とは、「直角三角形の3辺の長さをそれぞれa,b,c(斜辺)としたとき、\(a^2+b^2=c^...
不等式 数学問題2011年静岡大第2(奇素数の問題）
静岡大学 2011年 第2問問題（１）pを2と異なる素数とする。\(m^2=n^2+p^2\)を満たす自然数の組\(m,n\)がただ一つ存在することを証明せよ。（２）\(m^2=n^2+12^2\)を満たす自然数の組\(m,n\)を全てもと...