解析

猫野の微分積分

漸化式の極限は求めた後で証明する。収束性が不明なので。

まずは、次の漸化式の問題の答えを考えてください。問題次の数列の極限値を求めよ。\( a_1=1, a_{n+1}=\sqrt{a_n+2} \)問題の解説\( a_{n+1}=\sqrt{a_n+2} \)のように、\(a_{n+1}\)を...
猫野の微分積分

導関数の意味から使い方をマスターする!

「微分する」って言うのは、「導関数を求める」こと。「導関数を求める」ってのは、「傾きを示す関数を求める」ってこと。何の「傾き」っていうかというと、関数をグラフで書いた時、その接線の傾きのこと。「傾き」からなにがわかるのかっていうと、「増減の...
猫野の微分積分

「微分する」ってどういう意味?「導関数」との関係は?

「微分」はなんとなくわかるけど、「微分する」となるとなんだかちんぷんかんぷん。微分って木っ端微塵にしたチリのようだと思うよ、だったら、「微分する」っていうのは、細かく切り刻むことじゃん!\(x^2\)を微分したら\( 2x \)になるという...
猫野の微分積分

微分積分の概念を小学生でもわかりやすく捉えるには

高校で出てくる「微分」と「積分」は、いかにも難しそうな名前ですよね。でも、もし「なんとなく言葉は知っているけど、よくわからない」と思っているなら、これから紹介するお話を読んでみてください。イメージしやすい例を使って、微分と積分の考え方を説明...
無限

無限の点の個数が数えられるのなら長さの概念はいらない

点が集まって線ができるとします。もちろん、有限の点では線にはなりませんが、「無限に集まると線になるであろう!」と考えたくなりますね。無限の個数を数えるのは、至難の技です。というか、無限の個数を数えるのは、不可能です。なのに、なんとか無限を手...
無限

アキレスが亀に追いつかない現象をわかりやすく説明するよ

ゼノンのパラドックスの中でも「アキレスと亀」の話は特に有名で、広く知られています。足の速いアキレスが、足の遅い亀を少し後ろから追いかけるのですが、なぜかいつまでたってもアキレスは亀を追い越せない――これがパラドックスの内容です。最初にこの寓...
実数の作り方

数直線上の点と実数が1対1に対応しているなんて真っ赤な嘘

よく、数直線上の1点を実数に対応させますよね。直線L上の点の座標を(a,b)とするとか、複素平面だとa+biで平面上の点を指し示したりします。もちろん、ここでのa,bはある実数です。点が(無限に)集まったら線になる、平面になる、あるいは、線...
無限

偶数と奇数はどちらが多いか

偶数と奇数はどちらも、個数を数えることはできませんが、 多い、少ないで考えるとどうなるでしょうか?模範的な解答が何個かあると思いますが、無限にたくさんあるものでも比較できるとなにかと便利でしょう。 偶数も奇数もどちらも無数にあるので、どちら...
解析

最強のロピタルの定理でもうっかり使うと答えを間違う問題例

極限を求めるツールとして最強のロピタルの定理ですが、うっかりすると誤用してしまう場合があります。ロピタルの定理には、適用できるための前提条件がいろいろあります。そのほとんどは、それほど神経質になる必要はありません。ただ、一つだけうっかり間違...
猫野の微分積分

半円に内接するある四角形の最大の面積を求めるの問題

問題ABを直径とする半径1の半円周上の動点をP,Qとする。AP=PQを満たす四角形APQBの面積の最大値とそのときのBQの長さを求めよ。解答(解き方)四角形APQBの面積をなんらかのパラメータを使って表し、パラメータがどの値の時に最大値とな...