数論 複素数係数の2次方程式の解の公式を表せるか？
複素数係数の2次方程式通常の2次方程式の解の公式では実数係数でないと不都合がありました。それでは、複素数係数\(α,β,γ\)の2次方程式\(αx^2+βx+γ=0\)\(α=a+pi,β=b+qi,γ=c+ri\)\(a,a',b,b',...
数論
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数学問題 カプレカ数6174から６桁のカプレカ数まで考えた
４９５や６１７４がどんな数か？予想もつきませんね。なんの変哲もない、この数はカプレカ数と呼ばれている数です。カプレカという数学者が考えた数に由来してカプレカ数と呼ばれています。桁数によってカプレカ数が決まっているのですが、３桁のカプレカ数が...
数論 受験数学に出てくる数として西暦年数とその素因数をチェック
数学に関して言うと、入試問題にでてくる数値は２桁以内が圧倒的に多いです。例外は、近似計算の時です。例えば円周率、ネイピア数、自然対数などの有効桁数は３桁以上もよくあります。しかし、特に整数問題である場合は、1桁や2桁からなる合成数です。西暦...
数論 a+b+c=9の自然数解の個数を組合せ論で求める
\(\displaystyle a+b+c=9\)を満たす自然数\(\displaystyle a,b,c\)を全て求めよ。これは、自然数9を複数の自然数の和に分割する方法をすべて求める問題です。自然数の分割問題素因数分解は自然数を積の形に...
数論 複素数に符号を定義すると虚数は符号となる
複素数では正や負の概念がありませんが、符号という概念を拡張すると、複素数にも正や負と似た概念が適用できます。まず実数の符号についての性質をつかい、それに似せて複素数の符号を定義します。複素数の符号の一部として、正や負の概念を複素数に適用する...
数論 数の符号のプラス・マイナスは、足し算・引き算と区別される
実数はゼロを除けば正か負のどちらに分類され、正の実数はプラスの符号「+」、負の実数にはマイナスの符号「-」がつけられます。
数論 テトレーションなどのハイパー演算子から演算を考える
足し算を繰り返すことで、かけ算が定義でき、かけ算を繰り返すことで、べき乗算が定義できます。この考え方を発展させ、べき乗算を繰り返すことから、新しい演算が定義できます。それがテトレーション（超ベキ算）と呼ばれる演算です。
数論 n進数で表した自然数の桁数を計算する公式
ｎ進数で何桁になるかある自然数\(a\)をn進数（n進法）で表したときの桁数を求める公式です。\(aのn進法での桁数=\displaystyle +1\) の記号は、ガウス記号と呼ばれる記号です。小数点以下を切り捨てする関数です。1を足すこ...
数論 変形ピタゴラス数(a^2＋2b^2＝c^2)の解を求める
円を使ったピタグラス数を求める方法で、ピタゴラス数の式を少し変形した式の整数解を求めてみました。どんな解が得られるでしょうか。問題\(a^2+2b^2=c^2\)となる整数の組(a,b,c)を求めよ。コメントa=1,b=2,c=3が解である...
数論 ベルトランの逆説から無作為の多様性を知る
ベルトランの逆説とは円に内接する正三角形を考えます。つぎに、円の弦を一本無作為に選びます。この弦の長さが内接した正三角形の一辺より長くなる確率を求めます。実は、この確率は一定に定まらないというのがベルトランの逆説です。求め方（考え方）によっ...