数論 ベルトランの逆説から無作為の多様性を知る
ベルトランの逆説とは円に内接する正三角形を考えます。つぎに、円の弦を一本無作為に選びます。この弦の長さが内接した正三角形の一辺より長くなる確率を求めます。実は、この確率は一定に定まらないというのがベルトランの逆説です。求め方（考え方）によっ...
数論
数論 数論 素数階乗の約数を使って完全数を探す
素数階乗の約数総和素数階乗自然数mに対して、m以下のすべての素数の積を素数階乗と呼び、m#で表す。例：10#=7*5*3*2=210ある自然数の約数の和がどれくらい大きくなるのかを考える。６は完全数であるから、σ(6)＝１２＝２＊６である。...
数論 完全数を一般化したオアの調和数とは
オアの調和数(Ore's harmonic number)の定義Ore(「オレ」でなく「オア」と読むそうです)は、ノルウェーの数学者の名前です。調和数を調べていたらでてきました。歴史があるだけあって整数問題は、初等的な問題であっても未だ未解...
数論 多重完全数を素因数分解してみると
多重完全数とはもとの数の約数の和が、もとの数の倍数になる自然数のことをいいます。k倍になっているとき、ｋを明示的に示すため、k倍完全数とも呼ばれています。これは、約数の逆数の和が整数kになっている自然数とも言えます。プライムナンバーズ ―魅...
数論 倍積完全数である3倍完全数を素因数分解してみた
完全数とはある自然数の約数の総和がその自然数の2倍になっているとき、その自然数を完全数という。例：６の約数は、１，２，３，６であるから、その総和は１２となる。これは６の２倍だから６は完全数である。完全数の約数を逆数にそて総和をとると、２にな...
数論 不足数と過剰数は無数にあるが、完全数は？
自然数nの約数の総和を約数関数σ(n)で表す。このとき、σ(n)/nの分布がどうなっているのか調べる。完全数完全数(perfect number)とは、自分自身を除く正の約数の和に等しくなる自然数のことである。これは、約数関数を使うと、自然...
数論 数学者ピタゴラスが考えた数の調和にみる結婚数
数学者ピタゴラスが考えた数の意味ピタゴラスは、世界はすべて数によって形成され数との調和でできていると考えていました。これによって、世界の調和を数によって知ることができると考え、カバラ数秘術と共に発展しました。有名なところでは、 「１」：理性...
数論 友愛数は約数の和が同じ
友愛数（ゆうあいすう、英: amicable numbers）親和数とも呼ばれる友愛数とは、以下の条件を満たしている二つの自然数の組のことです。「友愛数の条件：自分自身を除いた約数の和が互いに相手の数と同じになっている」友愛数の簡単な例（2...
実数の作り方 0.999…≠1の証明に挑戦！新実数の構築
0.999…=1の証明はゴマンとあるのに、0.999…≠1の証明は全然見当たらない。たまに、超実数だと云々と書かれているだけで、その超実数がなんなのか明確にして説明しているのをみたことがない。＝１と≠１の両者の式の意味がわかってこそ、＝１の...
代数 有理数の部分集合でデデキントカット
いろいろな集合のデデキントカットデデキントカットが一番使われるのは、有理数をデデキントカットして実数を作る時です。整数をデデキントカットしても、整数しか生み出せませんでした。整数は、稠密でないため（離散的なため）特殊すぎました。ここで、有理...