数とは何かを考えるのは、実は数を作るためである。 新しい数を作るために、数が必要であることは述べた。 その数として自然数を使うのが基本であることを述べた。 ただ、あまり抽象的な話しばかりしても、生産的でないので、もっと具 […]
一般項の式から漸化式を求める
問題を考えた経緯 東大2017年の数学第4問 の問題は、数列\(a_n\)の一般項から隣接している３項の漸化式を求める問題でした。 似たような問題に対処するため、ちょっと一般化してすぐに答えがだせるように練 […]
東大数学2017年前期第4問(整数漸化式)
ルート（√）がありますが、これは整数問題です。ちょっと変則的な数学的帰納法を使います。 最後の方で、この問題の「発展」についても記載しました。 ただ解くだけではつまらないですから。 問題 \( […]
相加平均相乗平均の変化形証明
相加平均相乗平均(AM-GM不等式) 相加平均≧相乗平均の関係の不等式は、AM-GM不等式と書かれることもよくあります。 AMというのは、算術平均、GMというのは相乗平均（幾何平均）の略です。AMとGMの関係を表す不等式 […]
数学的帰納法の変化形
数学的帰納法の簡単な変化形 数学的機能法の変化形（１） まず、簡単にわかるのは、最初のn=1の場合をn=0にしたり、n=2にすることです。 (1) n=2の場合に成立。 (2) n=kの場合が成立するならn=k+1の時も […]
約数の総和を求める関数は乗法的である
約数関数 約数関数とは、約数の総和を返す関数のことです。 定義をきちんと書くと、下記のようになります。 自然数nに対し、そのnの約数全ての総和を返す関数を約数関数と呼び、σ(n)で表す。 例えば、 σ(1)=1 σ(2) […]
素数が無限にあることの新証明
素数は無限にあることは周知の事実であり、その証明も数多くある。 私が青二才の時のこの証明は証明とはいえないものだった。 その証明とは・・・ 「数が無限にあるから素数も無限にある」（略証：数が無限にあるから、いくらでも素数 […]
