数論 円周率の日に円周率の計算
３月１４日は？ホワイトデー！、それよりも重要な日、円周率の日です！本日は円周率の日円周率の計算方法は他数あれど、有名なのは、arctan()を使う方法（その中でも特にマチンの公式）。しかし、それよりも単純で、効率的な方法が。その名は、ガウス...
数論 代数 サンダラムを改良して素数を求める
エラトステネスの篩を改良したサンダラムの篩によって素数を効率よく求めることができました。さらなる改良は可能かサンダラムの篩をさらに改良することはできるでしょうか？原理としては可能です。どのように改良すればよいのか、それはサンダラムのふるいが...
不等式 本当に「1=0.999…」でよいのか？
実数の定義もままならないのに、「1=0.999…」を主張する人がたくさんいます。よくある「1=0.999…」の証明その１\(0.333...＝\frac{1}{3}\)である。両辺を３倍する。\(0.333...*3=\frac{1}{3}...
数論 素数の求め方(サンダラムの篩(ふるい))
エラトステネスの篩(ふるい)を少し改良したサンダラムの篩(ふるい)をつかって素数をもとめます。サンダラムの篩をつかって奇素数を求めます。２を追加すれば素数リストになります。エラトステネスの篩を使った方法より２倍ぐらい処理とメモリ使用に関して...
数論 素数の求め方
サンダラムの篩を使った方法はこちらにあります。素数の判定なにか与えられた自然数が素数かどうか判定するには、その数の約数を調べればわかります。約数を調べるためには、その数以下の自然数で割ってみて、割り切れているかどうかで調べます。例えば、５３...
代数 n^4+n^2+1が素数となるときの整数nは？(素数になりにくい多項式)
問題\(n^4+n^2+1\)が素数となるときの整数nの値をもとめよ。素数かどうか、nにいろいろ代入していけばわかるのですが、・・・。解答例因数分解できることがミソです。\(n^4+n^2+1\)\(=(n^4+2n^2+1)-n^2\)\...
代数 数を作るのに必要な事
数とは何かを考えるのは、実は数を作るためである。新しい数を作るために、数が必要であることは述べた。その数として自然数を使うのが基本であることを述べた。ただ、あまり抽象的な話しばかりしても、生産的でないので、もっと具体的な話をしよう。数の定義...
数論 数の起源
数は、階層構造を持っていることは前にかいた。すなわち、新しい数は古い数をもって定義できる。数の起源をたどっていくと、1にたどり着く。1の裏には0がある。数の起源数の起源をたどってみよう。まずは、一番身近な有理数。有理数は(有理)整数から定義...
三次体 一般項の式から漸化式を求める
問題を考えた経緯東大2017年の数学第4問 の問題は、数列\(a_n\)の一般項から隣接している３項の漸化式を求める問題でした。似たような問題に対処するため、ちょっと一般化してすぐに答えがだせるように練習します。問題\(α＋β=p,αβ=q...
代数 東大数学2017年前期第4問(整数漸化式)
ルート（√）がありますが、これは整数問題です。ちょっと変則的な数学的帰納法を使います。最後の方で、この問題の「発展」についても記載しました。ただ解くだけではつまらないですから。問題\(p=2+\sqrt{5}\)とおき、自然数n=1,2,3...