無限 無作為に選んだ自然数が偶数である確率
無作為に自然数を選択したとき、それが偶数である確率は？自然数は、偶数か奇数かどちらかである。したがって、無作為に選んだ自然数が偶数である確率は、\(\frac{1}{2}\)果たしてこれでよいだろうか？自然数は無限にある。自然数は無限に存在...
無限 代数 ４次方程式の問題[筑波大2006年第１問]
問題\(f(x)=x^4+2x^2-4x+8\)とする。(1) \((x^2+t)^2-f(x)=(px+q)^2\)がxの恒等式となるような整数t,p,qの値を１組求めよ。(2) (1)で求めた\(t,p,q\)の値を用いて方程式\((x...
無限大の比較 無限大は自然数とみなせるか
自然数を使った無限大1を次々に足していく\(1+1+1+\cdots\)自然数を次々に足していく\(1+2+3+\cdots\)小さい順に素数を掛けていく\(2*3*5*\cdots\)こういった操作を行うといくらでも大きい数ができる。いわ...
数学問題 東大１９９０年度前期文系第２問
東大１９９０年度前期文系第２問３次方程式\(x^3+3x^2-1=0\)の一つの解を\(α\)とする。(1) \((2α^2+5α-1)^2\) を\(aα^2+bα+c\) の形の式に表せ。ただし、\(a,b,c\)は有理数とする。(2)...
数論 トムソンのランプにモノ申す
これは、解答がない問題であって、これをパラドックスというのか疑問ですが、無限級数がでてくるパラドックスなので、メモしておきます。トムソンのランプとはランプにスイッチがついていて、そのスイッチでランプ（の明かり）をつけたり、消したりできます。...
数学問題 数学問題[2016京大前期文系第3問]
入試問題は、無駄な回り道をしてでも、答えにたどり着くことが重要だ。エレガントに解くことにこだわらない。この問題は、模範的な解答はいたることろで公開されているが、途中で躓いてしまった解き方の例を示す。全然エレガントではないが、これでも正解にな...
数論 １とはなにか
１とはなにか１とは数えるときの最初の数である。数えることができれば、そこに１がある。１があるから数えることができる。数えることは繰り返すことができる。そこから２があることがわかる。２とは、連続して数えたときの最初の数である。数えることは何度...
数学問題 2017年日本数学オリンピック予選問題2
問題２０１７年日本数学オリンピック予選（公財）数学オリンピック財団問題２だけ簡単そうだったので、やってみた。問題を引用すると以下の通り。２０１７年日本数学オリンピック予選（公財）数学オリンピック財団問題２正の整数の組\((a,b)\) であ...
無限 1，2，3，たくさん
数を表す単語ピダハン語は数を持たないという。数を表す単語も、「１」，「２」，「３」と「たくさん」ぐらい。ピダハン語だけでなく、数を表す単語が少ない言語は他にもいくつかあるそうで、我々から見ると、それでなにか不都合が怒らないのが不思議でたまら...
数論 有限の領域に無限に長い線を引くことができるか
パソコンのお絵かきソフトで線を引きながら考えました。適当に線を引いていると、交わってしまのですが、できるだけ長く引くように頑張ります。交わらないように線を引いていても、この線には太さがあるのでいつかは限界がきて線と線が触れてしまいます。真面...