数論 不足数と過剰数は無数にあるが、完全数は？
自然数nの約数の総和を約数関数σ(n)で表す。このとき、σ(n)/nの分布がどうなっているのか調べる。完全数完全数(perfect number)とは、自分自身を除く正の約数の和に等しくなる自然数のことである。これは、約数関数を使うと、自然...
数論 数論 数学者ピタゴラスが考えた数の調和にみる結婚数
数学者ピタゴラスが考えた数の意味ピタゴラスは、世界はすべて数によって形成され数との調和でできていると考えていました。これによって、世界の調和を数によって知ることができると考え、カバラ数秘術と共に発展しました。有名なところでは、 「１」：理性...
数論 友愛数は約数の和が同じ
友愛数（ゆうあいすう、英: amicable numbers）親和数とも呼ばれる友愛数とは、以下の条件を満たしている二つの自然数の組のことです。「友愛数の条件：自分自身を除いた約数の和が互いに相手の数と同じになっている」友愛数の簡単な例（2...
代数 数学で表す数式の等号記号＝について
数学の記号「＝」数学での記号「＝」には大きく二つの意味があります。 等しい：二つのものが等価（同じ）とみなせる（等価の関係にある） 代入：あるものを別のもに代入する（置き換える）見ただけでは、両者の見分けがつきませんんから前後の文脈から判断...
代数 根と解を統一扱いせず使い分ける方法
解と根言葉の使い分けの話です。自分でもどっちを使おうか、統一しようか悩む事もありますが、自分の中の結論としては、使いやすい方を使うことにしています。つまり、混在して使っています。世の中、根と解を区別して使ってる方も多数おられて、それはそれで...
代数 関数記号「f(x)」について
関数記号としてよく使われるのはf次はg関数（一般的には写像）を表す記号、例えばf(x)はものすごく便利な記号です。便利すぎて、数学では使いまくられています。関数を表す文字としてf,g,h,あとは、ギリシャ文字などもよく使われます。他の文字は...
代数 収束する数列で数を作る
数列で新しい実数を作るで数列に四則演算を定義しましたが、ゼロ因子があって邪魔でした。そこで、数列群のなかでこのようなゼロ因子を省くことを考えます。収束する数列で体を作る数列は、収束する、発散または振動に分けられます。数列群の要素で収束するも...
代数 数列の四則演算を活用して数を作る
それでは、新しい実数を作っていきます。既存の実数を使い、それを拡張する方法で作ります。数列を母体にする数列から新しい実数を作ります。ある数列の一つを{an}のように中括弧でくくって表現します。{an}:=a1,a2,a3,…です。aはこの数...
実数の作り方 0.999…≠1の証明に挑戦！新実数の構築
0.999…=1の証明はゴマンとあるのに、0.999…≠1の証明は全然見当たらない。たまに、超実数だと云々と書かれているだけで、その超実数がなんなのか明確にして説明しているのをみたことがない。＝１と≠１の両者の式の意味がわかってこそ、＝１の...
無限 数列の極限と関数の極限の違い
極限の記号limは２段階の意味がある注意深く観察すればわかることですが、極限には数列の極限と、関数の極限があります。特に区別しなくてもまず混乱はないのですが、なにげに区別されているのですよ。（実数でできている）数列は、見方をかえると、自然数...