数列で新しい実数を作るで数列に四則演算を定義しましたが、ゼロ因子があって邪魔でした。 そこで、数列群のなかでこのようなゼロ因子を省くことを考えます。 収束する数列で体を作る 数列は、収束する、発散または振動に分けられます […]
数列の四則演算を活用して数を作る
それでは、新しい実数を作っていきます。既存の実数を使い、それを拡張する方法で作ります。 数列を母体にする 数列から新しい実数を作ります。ある数列の一つを{an}のように中括弧でくくって表現します。 {an}:=a1,a2 […]
0.999…≠1の証明に挑戦！新実数の構築
0.999…=1の証明はゴマンとあるのに、0.999…≠1の証明は全然見当たらない。 たまに、超実数だと云々と書かれているだけで、その超実数がなんなのか明確にして説明しているのをみたことがない。 ＝１と≠１の両者の式の意 […]
数列の極限と関数の極限の違い
極限の記号limは２段階の意味がある 注意深く観察すればわかることですが、極限には数列の極限と、関数の極限があります。 特に区別しなくてもまず混乱はないのですが、なにげに区別されているのですよ。 （実数でできている）数列 […]
公理的集合論から順序数(注意！本当に駄文でゴメン)
無限大が絡んだ数で演算を調べようとしても、なんとなくの説明でいまひとつ釈然としないか、踏み込もうとしると伏魔殿に足を踏み入れたような感じになります。 公理的集合論 真面目に無限大に取り組んでいる学問は、公理的集合論の世界 […]
無限大÷無限大が不定とは限らない
極限は数列の行き先であるから、発散する数列を無限大として扱う考え方は、自然である。 数列の演算では、割り算がうまく定義できなかった。 したがって無限大の比の計算に難があった。 これを回避するために、0を含まない数列だとか […]
無限大を数列で表すとどうなるか
極限で無限大を比較するとは、発散する数列の比較である 無限大の定義 無限大を、単に大きな数とだけ定義したのでは、大きさについて漠然と定義されただけの存在にすぎない。そもそもそれは数にならない。 そこで、無限大とは、正の無 […]
無限大×無限大は無限大より大きいか
実数直線を開区間(-1,1)に埋め込むことによって、無限大に発散する数列を有限の線分の範囲で考えることができた。そして、有限の線分で無限大への近づき方が観察することができるようになり、無限大に発散する数列がある無限大とい […]
無限大の比較は可能か？
次の二つの数列を考えます。 \[a_n=2^n\] \[b_n=250n+750\] どちらの数列も無限大に発散する数列です。 さて、同じ無限大に発散する数列ですが、どちらの無限大が大きいでしょうか？ 発散 […]
数直線全体を開区間(-1,1)に埋め込む方法
数直線全体をぎゅ～っと縮めて開区間(-1,1)に対応させる 下記に実数直線を開区間(-1,1)に埋め込んだ状況を図で示します。 いろんな関数を使う方法が考えられますが、できるだけ単純な関数を選んで埋め込みました。 &nb […]
